¿Por qué el líquido de un cuenta gotas no cae si no se aprieta el pedal de plástico?

El agua (y todos los elementos, en general) tiende hacia estados de menor energía. El agua se mueve en la atmósfera a ambientes con menor presión. Así es como pasa del suelo a las raíces, de éstas a las hojas, y de las hojas a la atmósfera.
En el caso del cuentagotas, el volumen total es igual al volumen del cilindro más el volumen de la ampollita que se aprieta. Cuando la apretamos, el volumen se reduce. La presión es inversamente proporcional al volumen, es decir: si disminuyo el volumen, aumento la presión, y viceversa.
Así, si mantengo la ampollita apretada (menos volumen) y sumerjo el cuentagotas en el agua, al soltar la ampollita aumenta el volumen disponible. Esta reducción de presión en el interior del cuentagotas hace que el agua pase al interior, hasta igualar presiones dentro y fuera. Si retiramos el cuentagotas, el agua no cae, porque para vaciarlo tendríamos que hacer que la presión en su interior fuera menor a la del ambiente (por ejemplo, volviendo a apretar la ampolla).