Taller de calculo integral resolver paso paso este ejercicio

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¡Hola Oscar!

No sé si os seguirán enseñando que:

$$\begin{align}&(tg\,x)' = 1+tg^2x\end{align}$$

era algo my bueno según las ocasiones, era mi derivada de referencia de la función tangente.

$$\begin{align}&\int tg^3x \;dx=\\&\\&\text{Sumamos y restamos lo mismo}=\\&\\&\int (tg^3x+tg\,x)\,dx - \int tg\,x \;dx\\&\\&\int tg\,x(tg^2x+1)\,dx-\int \frac{sen\, x}{\cos x}dx=\\&\\&\text{para la primera el cambio es }\\&t=tg\,x\quad dt=(1+tg^2x)\,dx\\&\\&\text{para la segunda}\\&u=cosx \quad du = -sinx\;dx\\&\\&=\int tdt-\int-\frac{du}{u}=\\&\\&\frac {t^2}2+ln |u| +C =\\&\\&\frac{tg^2x}{2}+ln|\cos x|+C\end{align}$$

Muchísima atención.  Las dos integrales bien aunque a primera vista parezcan distintas.  Las integrales son iguales si difieren en una constante y ten en cuenta que

sec^2(x) = 1 + tg^2(x)

Con lo cual el

sec^2(x) / 2 de Gustavo es  (1/2) + tg^2(x) / 2

Que es lo mismo que lo mío únicamente distinto en la constante 1/2.

Perdona por no haber usado otro cuadro de fórmulas, pero el editor da problemas a veces con una fórmula, con dos da más y con tres no quiero probar.

Y eso es todo, espera que te sirva y lo hayas entendido.

Saludos.

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;)

Hola oscar!

Teniendo en cuenta la identidad trigonométrica:

$$\begin{align}&1+tan^2x=sec^2x\\&\\&\int tan^3x dx=\int tan^2x·tanx·dx=\\&\\&= \int (sec^2x-1) tanx dx=\\&\\&\int sec^2x·tanx - \int tanx dx=\\&\\&=\int \frac{1}{\cos^2x}· \frac{senx}{cosx}dx-\int \frac {senx}{cosx}dx=\\&\\&= -\int \cos^{-3}x(-senx)dx+ \int \frac{- senx}{\cos x} dx=\\&\\&= - \frac{\cos^{-2}x}{-2}+ln|cosx|+C=\\&\\&=\frac{1}{2 \cos^2 x}+ln |\cos x|+C\end{align}$$

Saludos

;)

;)