Paro o subsidio

Buenos días,
El día 5 de enero terminó mi contrato de trabajo. El día 12 fui a arreglar el paro llevándola documentación que me pidieron. Según tengo entendido para poder cobrar el paro tienes que tener cotizados 360 días en los últimos seis años.
Bien, mi problema es el siguiente. Me acaba de llegar una vida laboral donde pone que desde el 20/12/2002 tengo cotizados 374 días. Como veis estos 11 días que coticé en el 2002 no me contaran para el paro porque es de hace más de seis años. Total que he pedido el paro y resulta que tengo un poco menos de 360 días cotizados en los últimos seis años.
¿En el caso de que reciba la carta del INEM donde me ponga que me deniegan el paro por esta razón podría hacer algo? ¿Tendría derecho a pedir el subsidio? Lo digo por los plazos en que hay que pedir la prestación (15 días después de finalizar el contrato).