Contrato de relevo

Puedes perfectamente firmar otro contrato con otra empresa mientras no exista clausula de exclusividad, para lo cual deberían darte una compensación económica expresa, y si nola hay, aunque exista esa cláusula será nula, por lo que podrías trabajar en otra empresa paralelamente.
Aun en el caso de que exista la clausula, y te den una compensación económica, puedes renunciar a ella avisando con 30 días y liberarte de dicha clausula.
Si no existe la clausula, no te has de preocupar ya por nada y trabajar en otra empresa también.
Solo no podrías si fueses funcionario por ejemplo, y trabajases en otra empresa pública también cobrando del estado. Si eres trabajador por cuenta ajena del rehimen general, no has de tener ningún problema.

En primer lugar darte las gracias por tu respuesta. Después de haberla leído me surge otra duda:
El contrato de relevo es en un centro de enseñanza privada concertada (me pagaría la comunidad aunque no soy funcionaria ni interiana ni nada por el estilo). ¿SIgue siendo posible el firmar otro contrato?
Muchas gracias

Sigue siendo posible mientras el otro contrato no sea también un órgano público. Si es un contrato del régimen general, por ejemplo en una fábrica o tienda, no hay problema. Si fuese por ejemplo de hacer de profesora en otro centro, entonces no podrías (ley de incompatibilidades).

El nuevo contrato sería en otro centro pero puramente privado, vamos, como una empresa más. ¿La ley de incompatibilidades es referiada a trabajos públicos no?

Exacto, en este caso no has de preosuparte. Es como los médicos de la seguridad social, que ea parte tienen su propia cconsulta privada.