Suma de Riemann. Stewart. Poligonos.
a) Deja a
$$\begin{align}&A_{n}\end{align}$$ser el área del poligono con n lados iguales inscritos dentro de un circulo con radio r. Diviendo el poligono en n triangulos congruentes con un angulo central en
$$\begin{align}&2 \frac{\pi}{n}\end{align}$$muestra que:
$$\begin{align}&A_{n}=\frac{1}{2}n r \sin(2 \frac{\pi}{n})\end{align}$$b)Demuestre que
$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty}A_{n}=\pi r^{2}\end{align}$$
1 Respuesta
El angulo central es 2pi/n.Hallemos el area de un triangulo. Si dividimos los triangulos a la mitad, el angulo de cada triangulo es de pi/n (van a ser triangulos rectangulos), la hipotenusa vendria a ser el lado del triangulo que va hacia uno de los vertices del poligono, es decir que es el radio. Recordemos que el area de un triangulo es b.h/2; hallemos la base(la multiplicaremos por dos ya que dividimos el triangulo a la mitad, la altura queda igual pero la base se reduce a la mitad) y la altura
sinθ=cat ophiprsinπn=cat op=basecosθ=cat adjhiprcosπn=cat adj=alturaAtriangulo=12rcosπn2rsinπnAtriangulo=r2cosπnsinπnsin2x=2sinxcosxsin2x2=sinxcosxAtriangulo=12r2sin2πn
Este es el area de un triangulo. Como hay n triangulos nos queda que el area del poligono es(veras que te falto el r^2)
$$\begin{align}&A_{poligono}=n \frac{1}{2}r^2 \sin \frac{2 \pi}{n}\\&\\&\lim_{n \to \infty}n \frac{1}{2}r^2 \sin \frac{2 \pi}{n}\\&\\& \lim_{n \to \infty}\frac{\pi}{\pi}n \frac{1}{2}r^2 \sin \frac{2 \pi}{n}=\\&\\& \lim_{n \to \infty}\frac{n}{2 \pi}\pi r^2 \sin \frac{2 \pi}{n}=\\&\\&\lim_{n \to \infty} \pi r^2 \frac{ \sin \frac{2 \pi}{n}}{\frac{2 \pi}{n}}\\&\\&recordar:\\&\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1\\&-----------------\\&t=\frac{2 \pi}{n}\\&\\&\lim_{t \to 0} \pi r^2 \frac{\sin t}{t}= \pi r^2 \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}= \pi r^2\\&\end{align}$$
