Problemas sobre polígonos
Tengo unos ejercicios sobre polígonos que no los entiendo muy bien espero pueda ayudarme. Gracias.
1)Halla la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono, si la diferencia de su número de diagonales y su numero de vértices es igual a 25.
2) La suma del número de lados y del numero de diagonales de un pligono es igual a 435. Encontrar el numero de lados.
3) En un octógono regular ABCDEFG encontrar la medida del angulo formado por las prolongaciones de los lados HA y DC.
4) ¿Cuántas diagonales tiene un polígono no regular, si la medida de sua ngulo anterior es el triple de la medida de su angulo central?
1)Halla la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono, si la diferencia de su número de diagonales y su numero de vértices es igual a 25.
2) La suma del número de lados y del numero de diagonales de un pligono es igual a 435. Encontrar el numero de lados.
3) En un octógono regular ABCDEFG encontrar la medida del angulo formado por las prolongaciones de los lados HA y DC.
4) ¿Cuántas diagonales tiene un polígono no regular, si la medida de sua ngulo anterior es el triple de la medida de su angulo central?
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
1) Conviene conocer antes cuántas son las diagonales de un polígono y cuánto suman sus ángulos internos. Su pongo lo tendrás en tu libro, yo lo busco en internet porque no me acuerdo y me dice:
Suma ángulos internos = 180(n-2)
Numero de diagonales = n(n-3)/2
Pues lo que nos dicen es esto:
n(n-3)/2 - n = 25
(n^2 - 3n)/2 - n = 25
multiplico todo por 2
n^2 - 3n - 2n = 50
n^2 - 5n - 50 = 0
n = [5 +- sqrt(25 + 200)] / 2
n= [5 +- sqrt(225)] / 2
n = (5+- 15) / 2
La respuesta negativa no tiene sentido
n = 10
Luego la suma de ángulos internos será 180(10-2) = 1440º
2) En este caso nos dicen esto
n(n-3)/2 + n = 435
(n^2 - 3n)/2 + n = 435
n^2 - 3n + 2n = 870
n^2 - n - 870 = 0
n = [1 +- sqrt(1+3480)] / 2
n = [1 +- sqrt(3481)] / 2
n = (1 +- 59)/2
La solución positiva es 30, ese es el número de lados.
3) Tendrás que hacerte el dibujo para poder entenderlo.
Si trazamos las rectas HA y DC y se cortan en un punto P vemos que HDP forman un triángulo isósceles cuyo lado HD es el diámetro de la circunferencia que inscribe al octógono,
Vamos a calcular el ángulo que tiene ese triángulo en el vértice H (que por ser isósceles es el mismo que en D. Ese ángulo es justo la mitad del ángulo del octógono en ese mismo punto.
Un ángulo interno de un octógono vale lo que la suma de todos dividida por n
Angulo octógono = 180(8-2)/8 = 1080/8 = 135º
El angulo del triángulo valdrá la mitad de eso, pero no es necesario hacer la división porque como a 180 hay que restarle 2 veces ese ángulo mitad es como restárselo entero.
Luego el vértice en P tiene por ángulo 180º - 135º = 45º
Ese es el ángulo que forman las rectas.
4) No entiendo muy bien que es el ángulo central de un polígono, pero supongo que se refieren a 360º, luego
180(n-2) = 3 · 360 = 1080
n-2 = 1080/180 = 6
n = 6+2 = 8
Luego es un octógono.
El número de diagonales será
D = 8(8-3)/2 = 8·5/2 = 20
Y eso es todo.
Suma ángulos internos = 180(n-2)
Numero de diagonales = n(n-3)/2
Pues lo que nos dicen es esto:
n(n-3)/2 - n = 25
(n^2 - 3n)/2 - n = 25
multiplico todo por 2
n^2 - 3n - 2n = 50
n^2 - 5n - 50 = 0
n = [5 +- sqrt(25 + 200)] / 2
n= [5 +- sqrt(225)] / 2
n = (5+- 15) / 2
La respuesta negativa no tiene sentido
n = 10
Luego la suma de ángulos internos será 180(10-2) = 1440º
2) En este caso nos dicen esto
n(n-3)/2 + n = 435
(n^2 - 3n)/2 + n = 435
n^2 - 3n + 2n = 870
n^2 - n - 870 = 0
n = [1 +- sqrt(1+3480)] / 2
n = [1 +- sqrt(3481)] / 2
n = (1 +- 59)/2
La solución positiva es 30, ese es el número de lados.
3) Tendrás que hacerte el dibujo para poder entenderlo.
Si trazamos las rectas HA y DC y se cortan en un punto P vemos que HDP forman un triángulo isósceles cuyo lado HD es el diámetro de la circunferencia que inscribe al octógono,
Vamos a calcular el ángulo que tiene ese triángulo en el vértice H (que por ser isósceles es el mismo que en D. Ese ángulo es justo la mitad del ángulo del octógono en ese mismo punto.
Un ángulo interno de un octógono vale lo que la suma de todos dividida por n
Angulo octógono = 180(8-2)/8 = 1080/8 = 135º
El angulo del triángulo valdrá la mitad de eso, pero no es necesario hacer la división porque como a 180 hay que restarle 2 veces ese ángulo mitad es como restárselo entero.
Luego el vértice en P tiene por ángulo 180º - 135º = 45º
Ese es el ángulo que forman las rectas.
4) No entiendo muy bien que es el ángulo central de un polígono, pero supongo que se refieren a 360º, luego
180(n-2) = 3 · 360 = 1080
n-2 = 1080/180 = 6
n = 6+2 = 8
Luego es un octógono.
El número de diagonales será
D = 8(8-3)/2 = 8·5/2 = 20
Y eso es todo.
