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Integrales, derivadas, ecuaciones diferenciales, límites

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Calcular Pixeles que ocupa una Curva de Tres Puntos

Primero quiero aclarar algo, soy un programador de visual basic 2017 (.Net Framework 4.5.2), tengo 16 años. Intento imitar las animaciones Material Desing de Google, por lo que se me ocurrió generar una curva, justo como los ejemplos de la página....
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Resolver integral y definir que método se utilizo

\int \frac{senh\left(2z^{\frac{1}{4}}\right)}{\sqrt[4]{z^3}}dz
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Derivar la función 3/x^2+1 aplicando el concepto o definición de derivada.

Hallar la derivar de la función 3/x^2+1 aplicando el concepto o definición de derivada.
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Cómo calcular área usando integrales?

Compañeros solicito su colaboración para resolver el siguiente problema. Muchas gracias
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Evaluar las siguientes integrales impropias si convergen o divergen:

Primera parte Argumente cada paso o propiedad a utilizar
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¿Como realizo la siguiente función de una bala?

A) Una bala se dispara desde el piso formando una trayectoria tipo parábola, donde su ecuación es: y = -x2 + 13x – 30. Resuelve: ¿En qué punto, la bala, alcanzó su altura máxima? Determina los puntos desde donde fue lanzada la bala, así como el punto...
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Integral Definida Aplicando las propiedades y definición de integral, resolver las siguientes integrales:

Enunciando claramente la técnica o propiedad usada. Muchas gracias
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Integral Indefinida - Integral Definida Aplicando las propiedades y definición de integral, reso

Segunda parte Argumentar cada paso que se utilice o propiedad
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Como llegar a 1/2 - límite cuando x tiende a cero

Este es un ejercicio resuelto que no trae el procedimiento, está en el capítulo de equivalencias. La respuesta es 1/2 según el libro, pero no sé cómo llegar a ella. Piden además además no utilizar la regla de L'Hopital.
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Que diferencia hay en los criterios de la primera deriva y los de la segunda derivada?

Cuando se trata de hallar valore extremos (máximo, mínimo relativo), intervalos donde crece/decrece hay dos métodos, el criterio de la primera derivada, y el de la segunda derivada, mi duda es, ¿Siempre me va a funcionar el de la primera derivada...