¿Hay alguna forma de asegurar la estabilidad de una Empleada de hogar sin papeles?

Empezó a trabajar como cuidadora de mi madre una chica que nos dijo que estaba tramitando sus papeles y que pronto podríamos hacer contrato. No estábamos muy convencidos, pero nos pareció buena persona, lo es y confiamos en que sería cosa de pocos meses, y que en cuento pudiera hacíamos el contrato y dábamos de alta en seguridad social, pero ahora nos dice que hay que esperar mínimo un año. De hecho en la misma fecha empezó a trabajar en casa de otro familiar una amiga suya, y su amiga que si ya tenía sus papeles, le hicimos su contrato.

Ahora tenemos un problema, mi madre de 94 años, ya se ha acostumbrado a ella y no es fácil encontrar una persona con quien se sienta tranquila.

La duda es qué hacer, nos parece poco seguro tener una persona en casa sin contrato, es buena persona, pero tampoco tenemos ningún dato más de ella, pero claro romper esa relación laboral ahora que nuestra madre está tranquila nos cuesta.

MI pregunta es si se puede hacer algún tipo de contrato privado, algo que a ella le valga para acelerar sus papeles y a nosotros nos de una seguridad, por ejemplo cuando en un futuro, no la necesitemos, no haya problemas para que déjela casa.

Alguien me puede decir qué podemos y debemos hacer.