Como resolver paso a paso el siguiente limite infinito

Quiero saber si alguien podría explicarme como resolver el siguiente limite de paso a paso de resultado 1/2 resolviéndolo de la forma tradicional sin utilizar l'hospital. Mi pregunta se debe a como debería de manejar este limite existiendo una por multiplicando el ()

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$$\begin{align}&\lim_{x \to \infty} x(\frac{(\sqrt{x^4+x}-x^2)(\sqrt{x^4+x}+x^2)}{(\sqrt{x^4+x}+x^2)})=\\&\lim_{x \to \infty}x \frac{x^4+x-x^4}{\sqrt{x^4+x}+x^2}=\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{\sqrt{x^4+x}+x^2}\end{align}$$

Y ahora multiplicamos y dividimos por el x con mayor expontente, en este caso el x^2 (que conste porque no lo expliqué en el ejercicio que pusiste anterior, que el x^2 que esta en el numerador lo estoy usando para dividir el denominador, y el x^2 que esta en el denominador lo uso para dividir el numerador). Dicho de otra manera, es lo mismo que multiplicar y dividir por (1/x^2)/(1/x^2)

$$\begin{align}&\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{\sqrt{x^4+x}+x^2}\frac{x^2}{x^2}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^4+x}{x^4}}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^3}}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\end{align}$$

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