Veamos.
La función polinómica
$$\begin{align}&f_1(x,y)=x^2-y^2\end{align}$$Es continua en todo el plano real. Por otra parte la función
$$\begin{align}&f_2(x,y)=e^{x+y}-1\end{align}$$También es continua en todo el plano real. Entonces se espera que la división sea continua en todo el plano real. Pero puede que el denominador se anule para ciertos puntos (x,y) del plano, es decir para aquellos que cumplen x + y = 0, lo que hace a tal función racional no definible en tales puntos y por ende, por definición de continuidad, no será continua en los puntos (x,-x) donde x es un número real cualquiera.
En resumen
$$\begin{align}&f\text{ es continua en }\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x+y\neq 0\}\end{align}$$
2 respuestas más de otros expertos
:)
Jajjjajajaja...
Aunque resulta obvio, vale agregar que escribí al revés las cosas al final:
* donde puse = 0 debe ser "distinto de" 0, y
* donde puse "distinto de" 0, debe ser = 0
Saludos, Mario R.
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:)
Adjunto una imagen de la función "equivalente".
En ella puede verse que la función no manifiesta ninguna discontinuidad. Además se visualiza el punto A de coordenadas: (1, -1, 2) formando parte de la superficie según lo previsto en el análisis mostrado.
f(x,y) = (x^2 - y^2) / [ e^(x+y) -1];
La limitante que tiene esta función es que el denominador no puede valer 0, por lo que: e^(x+y) =/= 1 (porque quedaría: e^0 - 1; o: 1-1).
Lo que implica que: x+y =/= 0; o:
Está definida para todo x =/= (-y).