Realiza la siguiente ecuación homogénea :

y(lnx - lny)dx = [x(lnx-lny)-y ] dy; 

y [ln (x/y)]dx = { x[ln(x/y)]-y } dy;   

u=x/y;  x=uy;  dx= ydu + udy;

(y lnu)* (ydu + udy) = (uylnu -y) dy;

y^2lnu du + yulnu dy = y(ulnu - 1) dy;  o:   y(ylnu du + ulnu dy) = y(ulnu - 1) dy; 

Simplifico:  ylnu du + ulnu dy = ulnudy - dy;   vuelvo a simplificar:

ylnu du = - dy;  

lnu du = -dy/y;  integro:

u(lnu-1) = - lny + lnA;  (recordar que lnA también es una constante):

u(lnu -1) = ln (A/y);  devuelvo variable:

(x/y) [ln(x/y) - 1] = ln (A/y);  o:  

ln[(x/y)^(x/y)] - (x/y) = ln (A/y);  

ln[(x/y)^(x/y)] - ln (A/y) = (x/y);

ln { [(x/y)^(x/y)] / (A/y)} = (x/y);  

ln { [y(x/y)^(x/y)] /A} = (x/y);  

;)
Hola José Lancaster!
En este foro, si votas Excelente tendrás nuevas respuestas de los Expertos.

Esa ecuación diferencial se transforma en variables separables mediante una sustitución:

$$\begin{align}&y(ln x-lny)dx=(xlnx-xlny-y)dy\\&\\&cambiando\ signos\\&y(lny-lnx)dx=(xlny-xlnx+y)dy\\&\\&yln \frac y xdx= (x ln \frac y  x+y)dy\\&\\&ln \frac y x dx=(\frac x y ln \frac y x+1) dy\\&\\& \frac{dy}{dx}= \frac{ln \frac y x}{\frac x y ln  \frac y x +1}\\&\\&u=  \frac y x  ==>  y=ux \ => \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}x+u·1\\&\\&\frac{dy}{dx}=x \frac{du}{dx}+u\\&\\&igualando:\\&\\&xfrac{du}{dx}+u=\frac{ln \frac y x}{\frac x y ln  \frac y x +1}\\&\\&xfrac{du}{dx}+u= \frac{lnu}{\frac 1 ulnu+1}\\&\\&x \frac{du}{dx}+u=\frac{ulnu}{u+lnu}\\&\\&x \frac{du}{dx}=\frac{ulnu}{u+lnu}-u\\&\\&x \frac{du}{dx}=\frac{ulnu-u^2-ulnu}{u+lnu}\\&\\&x \frac{du}{dx}=\frac{-u^2}{u+lnu}\\&\\&separando \ variables\\&\\&\frac{u +ln u}{u^2} du=- \frac{dx} x\\&\\&integrando\\& \int \frac{u +ln u}{u^2}du=- \int \frac{dx} x\\&\\&\int (\frac 1 u+u^{-2}lnu)du=-ln| x|+c_1 (*)\\&\\&\int u^{-2} lnu\ du= \text{ por partes}=(**)\\&lnu= \mu=> d \mu= \frac 1 u du\\&u^{-2}=dv =>v=\frac{u^{-1}}{-1}=-\frac 1 u\\&(**)=-\frac 1 u lnu+ \int   \frac 1 u \frac 1 u du=- \frac 1 u  lnu+ \int u^{-2} du=- \frac 1 u lnu - \frac 1 u\\&\\&(*)\\&lnu - \frac 1 u lnu - \frac 1 u=ln \frac{c_2}{|x|}\\&\\&ln \frac y x-\frac x y   ln  \frac y x- \frac x y=ln \frac{c}{|x|}\\&\\&\\&\end{align}$$

Función que dejo en forma implícita, ya que no puedo despejar y.

Repasa las cuentas por si acaso

Saludos

;)

;)