Cómo hallar límite por factorización

Factorizamos la expresión

$$\begin{align}&x^3+x^2-5x+3\end{align}$$

y así tenemos que

$$\begin{align}&\frac{x^3+x^2-5x+3}{x^3-3x+2}=\frac{\left(x-1\right)^2\left(x+3\right)}{x^3-3x+2}\end{align}$$

ahora factorizando la expresión

$$\begin{align}&x^3-3x+2\end{align}$$

 se tiene que

$$\begin{align}&\frac{\left(x-1\right)^2\left(x+3\right)}{x^3-3x+2}=\frac{\left(x-1\right)^2\left(x+3\right)}{\left(x-1\right)^2\left(x+2\right)}\end{align}$$

Eliminando los términos comunes nos queda

$$\begin{align}&\frac{\left(x-1\right)^2\left(x+3\right)}{\left(x-1\right)^2\left(x+2\right)}=\frac{x+3}{x+2}\end{align}$$

y asi:

$$\begin{align}&=\lim _{x\to \:1}\left(\frac{x+3}{x+2}\right)=\frac{1+3}{1+2}=\frac{4}{3}\end{align}$$

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