Para comprobar el contacto interno, lo primero es desconectar el aparato de la red. Deberás desmontar el cuerpo del termostato hasta acceder a los conectores, los desconectas, pones el multímetro en la función "continuidad", (la primera en el rango de las resistencias).
Aplicas las puntas de prueba y con la ruleta en la intentar más baja de su rango deberá tener el contacto abierto y no pitar. Con la ruleta girada hasta la zona más alta de su rango, deberá pitar.
Aún teniendo los contactos correctos, puede ser que falle el bulbo termostático, en ese caso no hay nada que hacer, toca sustituir el mecanismo.
En Youtube encontrarás vídeos en los que te explican cómo usar el polímetro si no conoces sus funciones.