Quisiera saber como se Factoriza de x²-1/1-√x?
Quisiera saber como se factoriza x²-1/1-√x?
Tengo entendido que se cancelan los factores comunes, pero si alguien me pudiera explicar.
Factorizar es poner una expresión como producto de diferentes términos.
Hay diversas estratégias, una de ellas es extraer factor común cosa que aquí no ocurre:
Otra estrategia es aplicar las Identidades notables, en particular en este caso
La diferencia de dos cuadrados:
$$\begin{align}&A^2-B^2=(A+B)(A-B)\\&\\&(x^2-1)=(x+1)(x-1)\end{align}$$por otro lado como hablas de cancelar factores comunes, se entiende entre el numerador y el denominador, lo que llamamos Simplificar la fracción.
Tal como está no habría factores comunes.
En el caso de radicales cuadráticos, para poder hacer algo la estrategia que se utiliza es multiplicar i dividir por la Expresión conjugada, lo que se conoce como Racionalizar,
$$\begin{align}&la \ expresión \ conjugada \ de \ \ 1-\sqrt x \ \ es \ 1+\sqrt x\\&\\&\frac{x^2-1}{1-\sqrt x}=\frac{(x+1)(x-1)}{1-\sqrt x}·\frac{1+ \sqrt x}{1+ \sqrt x}=\frac{(x+1)(x-1)(1 + \sqrt x)}{1-x}=\\&\\&(A+B)(A-B)=A^2-B^2 \ luego\\&(1+ \sqrt x)(1- \sqrt x)=1^2-\sqrt x^2= 1-x\\&\\&\end{align}$$observa que en el numerador tienes el factor x-1
yen el denominador 1-x que es igual a
1-x=-(x-1)
$$\begin{align}&==\frac{(x+1)(x-1)(1 + \sqrt x)}{-(x-1)}=\\&\\&simplificando\\&\\&=-(x+1)(1+ \sqrt x)\end{align}$$Saludos
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1 respuesta más de otro experto
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¡Hola Gonzalo!
En el numerador tienes una diferencia de cuadrados que en virtud de un producto notable es:
$$\begin{align}&a^2-b^2=(a+b)(a-b)\\&\\&luego\\&\\&\frac{x^2-1}{1- \sqrt x}=\frac{(x+1)(x-1)}{1-\sqrt x}=\\&\\&\text{y el segundo factor del numerador es otra}\\&\text{diferencia de cuadrados aunque no lo parezca}\\&\text{ya que x es el cuadrado de }\sqrt x\\&\\&=\frac{(x+1)(\sqrt x+1)(\sqrt x -1)}{1-\sqrt x} =\\&\\&\text{y el último factor de numerador es igual que el }\\&\text{denominador salvo por el signo. Se pueden}\\&\text{simplificar si añadimos un signo -}\\&\\&=-(x+1)(\sqrt x+1)\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así, pregúntame. Y si ya está bien, no olvides puntuarnos.
Saludos.
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