Quisiera saber como se Factoriza de x²-1/1-√x?

Factorizar es poner una expresión como producto de diferentes términos.

Hay diversas estratégias, una de ellas es extraer factor común cosa que aquí no ocurre:

Otra estrategia es aplicar las Identidades notables, en particular en este caso

La diferencia de dos cuadrados:

$$\begin{align}&A^2-B^2=(A+B)(A-B)\\&\\&(x^2-1)=(x+1)(x-1)\end{align}$$

por otro lado como hablas de cancelar factores comunes, se entiende entre el numerador y el denominador, lo que llamamos Simplificar la fracción.

Tal como está no habría factores comunes.

En el caso de radicales cuadráticos, para poder hacer algo la estrategia que se utiliza es multiplicar i dividir por la Expresión conjugada, lo que se conoce como Racionalizar,

$$\begin{align}&la \ expresión \ conjugada \ de  \  \ 1-\sqrt x \ \ es \ 1+\sqrt x\\&\\&\frac{x^2-1}{1-\sqrt x}=\frac{(x+1)(x-1)}{1-\sqrt x}·\frac{1+ \sqrt x}{1+ \sqrt x}=\frac{(x+1)(x-1)(1 + \sqrt x)}{1-x}=\\&\\&(A+B)(A-B)=A^2-B^2 \ luego\\&(1+ \sqrt x)(1- \sqrt x)=1^2-\sqrt x^2= 1-x\\&\\&\end{align}$$

observa que en el numerador tienes el factor x-1

yen el denominador  1-x que es igual a

1-x=-(x-1)

$$\begin{align}&==\frac{(x+1)(x-1)(1 + \sqrt x)}{-(x-1)}=\\&\\&simplificando\\&\\&=-(x+1)(1+ \sqrt x)\end{align}$$

Saludos

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¡Hola Gonzalo!

En el numerador tienes una diferencia de cuadrados que en virtud de un producto notable es:

$$\begin{align}&a^2-b^2=(a+b)(a-b)\\&\\&luego\\&\\&\frac{x^2-1}{1- \sqrt x}=\frac{(x+1)(x-1)}{1-\sqrt x}=\\&\\&\text{y el segundo factor del numerador es otra}\\&\text{diferencia de cuadrados aunque no lo parezca}\\&\text{ya que x es el cuadrado de }\sqrt x\\&\\&=\frac{(x+1)(\sqrt x+1)(\sqrt x -1)}{1-\sqrt x} =\\&\\&\text{y el último factor de numerador es igual que el }\\&\text{denominador salvo por el signo.  Se pueden}\\&\text{simplificar si añadimos un signo -}\\&\\&=-(x+1)(\sqrt x+1)\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.  Si no es así, pregúntame.  Y si ya está bien, no olvides puntuarnos.

Saludos.

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