Probar el siguiente problema de grupos bajo la composición de funciones y encuentra su fórmula.

Amo Mo!

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No sé qué quieres decir con encuentra la fórmula para T_{cd}. Si lo escribes de esa forma te quedarán los dos abajo.

Veamos que se cumplen las condiciones de grupo

1) Es una operación interna.  Sean f, g € G

f(x) = ax+b  con a<>0

g(x) = cx+d  con c<>0

(fog)(x) = f[g(x)] = a(cx+d)+b = (ac)x + (ad+b)  con ac<>0

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2) Es asociativa porque la composición de funciones es asociativa, independientemente de la forma concreta de estas funciones. Por definición:

[(fog)oh](x) = (fog)[h(x)] = f(g[h(x)])

[fo(goh)](x) =f[(goh)(x)] =f(g[h(x)])

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3) Tiene elemento neutro que sera

e(x)=1·x+0

e(x) = x

ya que

(foe)(x) = f[e(x)] = f(x)

(eof)(x) = e[f(x)] = f(x)

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4) Tiene elemento inverso

Hago una cuentas previas para calcularlo

y=ax+b    con a<>0

y - b = ax

x = (1/a)y - (1/a)b    como a<>0 tiene inverso y es distinto de 0

Luego el elemento inverso de

f(x) = ax+b   será

f^(-1)(x) = (1/a)x - (1/a)b 

o si quieres usando las propiedades de los reales lo dejamos en

f^(-1)(x) = x/a - b/a

Entonces

[fof^(-1)](x) = f[f^(-1)(x)]a(x/a - b/a) +b = x-b+b=x=e(x)

[f^(-1)of](x) = f^(-1)[f(x)] = (ax+b)/a - b/a = x-ba+ba=x=e(x)

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Y ya están probadas todas las condiciones, luego es un grupo.

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Y eso es todo.

Hola muchas gracias, me gustaría saber respecto a la fórmula que se pide en el problema de T_cd y T_ab, son T subíndice cd y subíndice ab, espero me entienda y no se si este bien lo solicitado, gracias, le agradezco su apoyo.

Saludos.

¡Amo!

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Por favor puntúa las preguntas constestadas de las que ya no tienes dudas.

¡Gracias! muchas gracias por su apoyo.

saludos.

A lo mejor quieren decir esto:

$$\begin{align}&T_{cd}=\left\{(x,cx+d)\;|\;x,c,d\in R ,c\neq0\right\}\end{align}$$

Esa es la definición de una correspondencia, aplicación, función, transformación y similares, un conjunto de pares ordenados.

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Y eso es todo.