Demostraciones de grupos.

1. A la vista está que es cierto, pero vamos a hacerlo con rigor, por inducción

Para n=1 está claro

(ab)¹ = ab = a¹b¹

Supongamos que se cumple para n y veremos que se cumple para n+1

$$\begin{align}&(ab)^{n+1} = (ab)^n(ab)=(a^nb^n)(ba)=\\ &a^n(b^n(ba))=a^n((b^nb)a)=a^n(b^{n+1}a)=\\ &a^n(ab^{n+1}) =(a^na)b^{n+1}= a^{n+1}b^{n+1}\end{align}$$

Como puedes ver ha salido muy larga e incluso rara por haber dado todos los pasos que requiere aplicar la propiedad asociativa. Vamos a hacerlo sin ningún paréntesis, que es como suele hacerse, sobrentendiendo la propiedad asociativa.

$$\begin{align}&(ab)^{n+1} = (ab)^nab =a^nb^nba= a^nb^{n+1}a=\\ &a^nab^{n+1}= a^{n+1}b^{n+1}\end{align}$$

Mucho más claro y corto así, pero nunca está mal recordar alguna vez de dónde venimos.

No, para los grupos no abelianos no tiene porque cumplirse. En la demostración se ha usado la propiedad conmutativa en un par de ocasiones.

Aquí tienes un ejemplo de que no se3 cumple. Es el grupo S3, las permutaciones de tres elementos, sean los ciclos (1,2) y (1,3)

[(1,2)(1,3)]² = (1,2,3)² =(1,3,2)

(1,2)²(1,3)² = e·e = e

luego son distintos.

2) Demuestra que G es abeliano si y solo si

(ab)' = a'b'

Es muy aparatoso el ^-1, mejor usaré la comilla para indicar el elemento inverso

Hacia la derecha ==>)

En todo grupo se cumple

(ab)' = b'a'

y como nuestro grupo es abeliano se cumple

(ab)' = b'a' = a'b'

Hacia la izquierda <==)

Sean a,b € G. Tenemos que

(ab)' = a'b'

Calculamos el inverso en cada lado, que será el mismo porque en grupo todo elemento tiene un único inverso. A la izquierda es ab por ser el inverso del inverso y a la derecha es ba como sucede en todo grupo sea abeliano o no, luego:

ab = ba

3) Vaya, nos hemos adelantado, en la pregunta anterior ya he usado este resultado, pero era imprescindible hacerlo. Vamos a demostrarlo

(Ab)' es el elemento tal que al operarlo con ab nos da el elemento neutro. Vamos a probar que b'a' cumple eso

abb'a' = aea' = aa' = e

b'a'ab = b'eb = b'b = e

Luego lo cumple y es el inverso.

4) Demuestra que si (ab)² = a²b² entonces ab=ba

(ab)² = abab

si nos dicen que eso es igual a a²b² tenemos

abab =aabb

Multiplicamos a izquierda por el inverso de a

a'abab =a'aabb

ebab = eabb

bab = abb

y a derecha por el inverso de b

babb' =abbb'

bae= abe

ba = ab

Y eso es todo.