Sea G el conjunto de todas las matrices reales 2x2 ((a b@0 d)) donde ad≠0. Probar que G forma un grupo bajo la multiplicación d

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Yo creo quee ste ejercicio no es para probar una por una las propiedades sino para partiendo de que las matrices nxn con determinante no nulo, con el producto son un grupo, demostrar que este conjunto que nos dan es un subgrupo de él.

El teorema de cararterización de subgrupos dice que dado un subconjunto H distinto del vacío de un grupo G, si se cumple esta condición:

i) Si a,b € H  ==> a·b^(-1) € H

entonces H es un subgrupo de G.

Ya nos dicen que ad<>0, eso garantiza que existe la inversa.

Dada una matriz N

(I j)

(0 k)

Vamos a ver cuál es la inversa. Se toman los adjuntos

(K 0)

(-J i)

Se tranponen

(K -j)

(0 i)

Y se divide por el determinante

(k/(ik)   -j/(ik))

(  0        i/(ik))

como i,k <>0

(1/i    -j/(ik))

( 0        1/k )

Y sea M una mariz como la del enunciado, multiplicada por esta es

M·N^(-1) =

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(a   b)       (1/i   -j/(ik) )     (a/i   -aj/(ik) + b/k )

(0 d) x ( 0 1/k  ) = ( 0 d/k  )

Es una matriz que tiene la forma de las matrices pr tener 0 en el elemento diagonal-inferior y el producto de la diagonal es

ad / (ik)

Que está definido por ser ik<>0 y es distinto de 0 por ser ad<>0.

Luego se cumple la condición es este conjunto es un subgrupo de las matrices cuadradas 2x2 con determinante distinto de 0.

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La matrices no suelen ser nada conmutativas, para ver si es abeliano efectuemos el producto AB y BA y veamos si el resultado es el mismo

(a b) (i j) (ai aj+bk)

(0 d) x (0 k) = (0 dk) )

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(i j) (a b) (ia ib+jd)

(0   k)     (0    d)  =  (0       kd   )

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Y como puedes ver no es abeliano, para que lo fuera debería darse

aj + bk = ib + jd

Esto por ejemplo podria suceder si a=d

aj + bk = ib +ja

y i=k

aj+bi  = ib + ja

Luego el grupo de estas matrices

(A b)

(0 a)

Con a<>0 si que sería grupo abeliano. Pero el que nos dan no lo es.

Y eso es todo.

¡Gracias! Creo que ya comprendí.

Hola, maestro Valero, disculpe, la duda que tengo es sobre la disposición de los elementos,  ya ve que a veces falla el látex, pero me gustaría saber si se trata de matrices, es lo único que tengo duda, tiene usted alguna imagen para apoyarme? gracias  y saludos.