Anónimo
Necesito que me ayudéis a resolver unos problemas de limites
1)Primeramente se conoce por teoría que lim(h tiende a cero)[senh]=1, pero cómo deduzco lo siguiente.
¨Si se cumple que lim(x tiende a pero)[senh)=0, a E R, entonces:¨
a)lim(x tiende a xo)[senh/h]=0
b)lim(x tiende a xo)[(1-cosh)/h]=0
Y así hay otras más que son conocidas, pero sólo en esa parte quiero esas 2.
2) Se tienen funciones racionales, es decir, cociente de polinomios, el análisis del comportamiento asintótico en +-00 se realiza dividiendo tanto al numerador como al denominador entre la mayor potencia del denominador:
[[ /= significa distinto]]
Así siendo los coeficientes principales an/=0 y bm/=0 en
f(x)=((an.x^n+a(n-1).x^(n-1)+...+a1x+a0)/(bm.x^m+b(m-1).x^(m-1)+...+b1x+b0))
Entonces el comportamiento asintótico de f(x) en +-00 es exactamente es el mismo que el de (an/bm). X^(n-m)
Esta segunda parte se demuestra ya operando en cada problema, pero lo que yo quiero es una demostración rigurosa.
Yo considero una demostración rigurosa usando teoremas colorarios entre otros.
Por ejemplo:
Sea lim(x tiende a pero)[f(x)]=L, entonces lim(x tiende a pero)[f(x)-L]=0. Tú me dirás la demostración salta a la vista. Pero yo te digo que puedo demostrar en base a la definición de límite:
Para cada e>o existe al menos algún d>0 tal que para todo x E Dom f se cumpla la siguiente implicación: 0<|x-xo|<d entonces |f(x)-L|<e.
x E domf, 0<|x-xo|<d entonces|(f(x)-L)-0|<e. Ya está resuelto este ejemplo identificando por la forma de la definicion de límite digo lim(x tiende a xo)[f(x)-L|=0.¿verdad?.Afirmo que es cierto porque partí de algo verdadero entonces mediante una transformación llegué a una expresion equivalente.
Como el desarrollo de este ejemplo quiero una demostración rigurosa de esta pregunta 2.
3) La recta y=mx+b es asíntota oblicua derecha derecha de la grafica de la funcion y=f(x) si existen en R los 2 limites siguientes:
i)lim(x tiende a +00)[f(x)/x]=m
ii)lim(x tiende a +00)[f(x)-mx]=b
[[En otras palabras lo que te quiero decir en este problema es que demuestres que la asíntota oblicua de la función f cuya recta te doy a conocer como y=mx+b cumple la parte ...i y ...ii]]
4) Halle el limite siguiente:
lim(x tiende a 0 por la izquierda)[(-x-sqrt(-x))/((x^2)+x)]
La respuesta a este problema es +00.
Pero mi duda es aquí:
lim(x tiende a 0 por la izquierda)[(-x-sqrt(-x))/((x^2)+x)]
=lim(x tiende a 0 por la derecha)[(x-sqrt(x))/((x^2)-x).
A simple vista salta que la expresión en negrita es equivalente a lo pedido ¿verdad?
Pero cómo es que llegas a establecer ese cambio de x tiende por la derecha de 0, a x tiende por la izquierda de 0.En otras palabras te pido que me expliques esta equivalencia no lo sé basándote en un teorema o colorario. Si te basas en un sólo teor o colorar para demostrar entonces también muéstrame la demostración de ese colorario.
Te menciono sólo un ejemplo de teorema y otro de colorario. [[ /= diferente]]
Teorema: lim(x tiende a 00)[f(x)]=lim(h tiende a 0 por la derecha)[f(1/h)]=L
Colorario: Si a/=0, entonces lim(x tiende a to)[f(x)]= lim(x tiende a (to/a))[f(ax)]
Como sabes un teorema se deduce de un colorario, en este caso no sé si este colorario se deduce de este terorema o quizás de otro teorema. No quiero que demuestres este teorema y colorario, sino el teorema o colorario que vas a usar para la demostración de esta pregunta 4, si usas un colorario demuestra de que teorema deriva, si deriva de varios teoremas entonces demuestra aquel teorema más importante que da sustento al colorario, si en la demostración sólo usas un teorema creo que hay ya no tendría porque demostrar un colorario ya que como se sabe un colorario deriva de un teorema.
Esta respuesta a la pregunta lo necesito lo más urgente posible ya que sin estos conceptos claros no podría seguir con una buen análisis a la matemática
Atte:F.P.D.L.
¨Si se cumple que lim(x tiende a pero)[senh)=0, a E R, entonces:¨
a)lim(x tiende a xo)[senh/h]=0
b)lim(x tiende a xo)[(1-cosh)/h]=0
Y así hay otras más que son conocidas, pero sólo en esa parte quiero esas 2.
2) Se tienen funciones racionales, es decir, cociente de polinomios, el análisis del comportamiento asintótico en +-00 se realiza dividiendo tanto al numerador como al denominador entre la mayor potencia del denominador:
[[ /= significa distinto]]
Así siendo los coeficientes principales an/=0 y bm/=0 en
f(x)=((an.x^n+a(n-1).x^(n-1)+...+a1x+a0)/(bm.x^m+b(m-1).x^(m-1)+...+b1x+b0))
Entonces el comportamiento asintótico de f(x) en +-00 es exactamente es el mismo que el de (an/bm). X^(n-m)
Esta segunda parte se demuestra ya operando en cada problema, pero lo que yo quiero es una demostración rigurosa.
Yo considero una demostración rigurosa usando teoremas colorarios entre otros.
Por ejemplo:
Sea lim(x tiende a pero)[f(x)]=L, entonces lim(x tiende a pero)[f(x)-L]=0. Tú me dirás la demostración salta a la vista. Pero yo te digo que puedo demostrar en base a la definición de límite:
Para cada e>o existe al menos algún d>0 tal que para todo x E Dom f se cumpla la siguiente implicación: 0<|x-xo|<d entonces |f(x)-L|<e.
x E domf, 0<|x-xo|<d entonces|(f(x)-L)-0|<e. Ya está resuelto este ejemplo identificando por la forma de la definicion de límite digo lim(x tiende a xo)[f(x)-L|=0.¿verdad?.Afirmo que es cierto porque partí de algo verdadero entonces mediante una transformación llegué a una expresion equivalente.
Como el desarrollo de este ejemplo quiero una demostración rigurosa de esta pregunta 2.
3) La recta y=mx+b es asíntota oblicua derecha derecha de la grafica de la funcion y=f(x) si existen en R los 2 limites siguientes:
i)lim(x tiende a +00)[f(x)/x]=m
ii)lim(x tiende a +00)[f(x)-mx]=b
[[En otras palabras lo que te quiero decir en este problema es que demuestres que la asíntota oblicua de la función f cuya recta te doy a conocer como y=mx+b cumple la parte ...i y ...ii]]
4) Halle el limite siguiente:
lim(x tiende a 0 por la izquierda)[(-x-sqrt(-x))/((x^2)+x)]
La respuesta a este problema es +00.
Pero mi duda es aquí:
lim(x tiende a 0 por la izquierda)[(-x-sqrt(-x))/((x^2)+x)]
=lim(x tiende a 0 por la derecha)[(x-sqrt(x))/((x^2)-x).
A simple vista salta que la expresión en negrita es equivalente a lo pedido ¿verdad?
Pero cómo es que llegas a establecer ese cambio de x tiende por la derecha de 0, a x tiende por la izquierda de 0.En otras palabras te pido que me expliques esta equivalencia no lo sé basándote en un teorema o colorario. Si te basas en un sólo teor o colorar para demostrar entonces también muéstrame la demostración de ese colorario.
Te menciono sólo un ejemplo de teorema y otro de colorario. [[ /= diferente]]
Teorema: lim(x tiende a 00)[f(x)]=lim(h tiende a 0 por la derecha)[f(1/h)]=L
Colorario: Si a/=0, entonces lim(x tiende a to)[f(x)]= lim(x tiende a (to/a))[f(ax)]
Como sabes un teorema se deduce de un colorario, en este caso no sé si este colorario se deduce de este terorema o quizás de otro teorema. No quiero que demuestres este teorema y colorario, sino el teorema o colorario que vas a usar para la demostración de esta pregunta 4, si usas un colorario demuestra de que teorema deriva, si deriva de varios teoremas entonces demuestra aquel teorema más importante que da sustento al colorario, si en la demostración sólo usas un teorema creo que hay ya no tendría porque demostrar un colorario ya que como se sabe un colorario deriva de un teorema.
Esta respuesta a la pregunta lo necesito lo más urgente posible ya que sin estos conceptos claros no podría seguir con una buen análisis a la matemática
Atte:F.P.D.L.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Aquí hay una confusión bastante grande.
Dices
Primeramente se conoce por teoría que lim(h tiende a cero)[senh]=1
No es así, ese límite es 0
¿No habrás querido decir que lim(h-->0) de[senh / h]=1?
Luego planteas:
¨Si se cumple que lim(x tiende a pero)[senh)=0, a E R, entonces:¨
a)lim(x tiende a xo)[senh/h]=0
b)lim(x tiende a xo)[(1-cosh)/h]=0
Y tampoco es así. Ambos límites son 1.
Lo del comportamiento asíntotico. ¡Uy, Fabian! El editor este no sirve para demostraciones rigurosas, sirve para hablar y poco más, las demostraciones tienen que ser más de palabra que de símbolos.
Se demuestra o comprueba muy sencillamente. Lo que haces es dividir numerador y denominador por x^m, divides todos los monomios. Los que pasen a tener potencia negativa de x tenderán a cero cuando x tienda a infinito, serán como elementos neutros y prescindiomos de ellos.
Entonces, en el denominador se reduce en la práctica al coeficiente del monomio de mayor grado.
Si el numerador ha quedado algún monomio con grado 1 o mayor erse marcará el limite cuando se tienda ainfinito y será infinito.
Si el numerador ha quedado de grado cero, el límite será el cociente de los dos coeficientes del los términos de mayor grado.
Finalmente qsi en el numerador no quedó nada porque todos los monomios habían quedado con x en el denominador el límite será cero.
No hay que abusar de las demostraciones por la definición de límite, si cualquier cosa hubiera que demostrarla con eso estaríamos con 200 años de retraso respecto a lo que estamos. Imagínate buscando deltas para cualquier derivada, qué atraso!
Bueno lo dejaré aquí de momento.
Dices
Primeramente se conoce por teoría que lim(h tiende a cero)[senh]=1
No es así, ese límite es 0
¿No habrás querido decir que lim(h-->0) de[senh / h]=1?
Luego planteas:
¨Si se cumple que lim(x tiende a pero)[senh)=0, a E R, entonces:¨
a)lim(x tiende a xo)[senh/h]=0
b)lim(x tiende a xo)[(1-cosh)/h]=0
Y tampoco es así. Ambos límites son 1.
Lo del comportamiento asíntotico. ¡Uy, Fabian! El editor este no sirve para demostraciones rigurosas, sirve para hablar y poco más, las demostraciones tienen que ser más de palabra que de símbolos.
Se demuestra o comprueba muy sencillamente. Lo que haces es dividir numerador y denominador por x^m, divides todos los monomios. Los que pasen a tener potencia negativa de x tenderán a cero cuando x tienda a infinito, serán como elementos neutros y prescindiomos de ellos.
Entonces, en el denominador se reduce en la práctica al coeficiente del monomio de mayor grado.
Si el numerador ha quedado algún monomio con grado 1 o mayor erse marcará el limite cuando se tienda ainfinito y será infinito.
Si el numerador ha quedado de grado cero, el límite será el cociente de los dos coeficientes del los términos de mayor grado.
Finalmente qsi en el numerador no quedó nada porque todos los monomios habían quedado con x en el denominador el límite será cero.
No hay que abusar de las demostraciones por la definición de límite, si cualquier cosa hubiera que demostrarla con eso estaríamos con 200 años de retraso respecto a lo que estamos. Imagínate buscando deltas para cualquier derivada, qué atraso!
Bueno lo dejaré aquí de momento.
1)Tienes razón en la primera parte me comí algo, pero tú notaste cual era el error, la demostración a este resultado es conocido lim(h-->0) de[senh / h]=1, pero las otras de demostraciones como a lo siguiente:
a)lim(x tiende a xo)[senh/h]=0
b)lim(x tiende a xo)[(1-cosh)/h]=0
¿Cómo es que demuestras estas 2?(Apoyándote en algunos teoremas y colorarios.)
2)En la pregunta 2 me estas diciendo que no puedes escribir los pasos ya que esta página web no acepta algunos símbolos matemáticos, en tal caso saldrían como signos de interrogación;pero he visto algo en algunas preguntas donde tu has respondido y te mandan preguntas de cálculo integral, y aparece el símbolo de la integral ¿?. La verdad yo no he probado si este editor acepta este símbolo o quizás el chico no lo sé copió la información en un programa más avanzado que word, y la integral figura como un parche en este caso creo que si se aceptaría.O en todo caso si tú me dices que es casi imposible de enviar entonces podrías usar un scaner o en todo caso colocas la información en una página y me la envías la información mediante un link.
3) y 4)
Espero tu respuesta.
Atte:F.P.D.L.
a)lim(x tiende a xo)[senh/h]=0
b)lim(x tiende a xo)[(1-cosh)/h]=0
¿Cómo es que demuestras estas 2?(Apoyándote en algunos teoremas y colorarios.)
2)En la pregunta 2 me estas diciendo que no puedes escribir los pasos ya que esta página web no acepta algunos símbolos matemáticos, en tal caso saldrían como signos de interrogación;pero he visto algo en algunas preguntas donde tu has respondido y te mandan preguntas de cálculo integral, y aparece el símbolo de la integral ¿?. La verdad yo no he probado si este editor acepta este símbolo o quizás el chico no lo sé copió la información en un programa más avanzado que word, y la integral figura como un parche en este caso creo que si se aceptaría.O en todo caso si tú me dices que es casi imposible de enviar entonces podrías usar un scaner o en todo caso colocas la información en una página y me la envías la información mediante un link.
3) y 4)
Espero tu respuesta.
Atte:F.P.D.L.
En el problema 2 no solo digo que sea difícil escribir en este editor. Sino que hay límites que es una pérdida de tiempo demostrarlos por la definición de límite, que hay que usar las propiedades que se van descubriendo sobre la suma, producto, cociente, etc de los limites en lugar de empezar de cero cada vez como si no se supiera nada.
Si, hace uno o dos días he descubierto que se puede usar Látex en esta página para escribir símbolos que he visto que tampoco quedan bien centrados cuando se mezclan con texto normal. Pero el esfuerzo que requiere eso no tiene ni comparación con el de escribir texto normal. Se puede usar los días de fiesta, no a diario.
Voy a dormir.
Si, hace uno o dos días he descubierto que se puede usar Látex en esta página para escribir símbolos que he visto que tampoco quedan bien centrados cuando se mezclan con texto normal. Pero el esfuerzo que requiere eso no tiene ni comparación con el de escribir texto normal. Se puede usar los días de fiesta, no a diario.
Voy a dormir.
Es que no le encuentro sentido a esto:
Si se cumple que lim(x tiende a pero)[senh)=0, a E R, entonces:¨
a)lim(x tiende a xo)[senh/h]=0
b)lim(x tiende a xo)[(1-cosh)/h]=0
Creo que debería ser algo así:
Si se cumple que lim(x tiende a pero)[senx)=0, a E R, entonces:¨
a)lim(x tiende a xo)[senx/x]=0
b)lim(x tiende a xo)[(1-cosx)/x]=0
Ya que la h que aparece en tus líneas ni se utiliza ni se sabe de dónde vino.
Si se cumple que lim(x tiende a pero)[senh)=0, a E R, entonces:¨
a)lim(x tiende a xo)[senh/h]=0
b)lim(x tiende a xo)[(1-cosh)/h]=0
Creo que debería ser algo así:
Si se cumple que lim(x tiende a pero)[senx)=0, a E R, entonces:¨
a)lim(x tiende a xo)[senx/x]=0
b)lim(x tiende a xo)[(1-cosx)/x]=0
Ya que la h que aparece en tus líneas ni se utiliza ni se sabe de dónde vino.