Sea g(x)= 4x^2-12x halle f tal que (f°g)(x)=|2x-3|

Me piden que halle la función f y me dan la compuesta. Según lo que tengo entendido para hacer esto tendría que hallar la inversa de g(x) y componerla con (f°g), pero como no es una función uno a uno no tiene inversa a menos que la acotara, ¿pero incluso si la acoto como despejaría x en términos de y?

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Efectivamente g no es inyectiva y por eso no tiene inversa en todo su dominio, pero se puede hacer en dos partes y ya verás que al final a lo mejor se puede fusionar todo.

Si (fog)(x) = |2x-3| lo componemos con g^-1(x) quedará

(fog)[g^-1(x)] = |2g^-1(x) - 3|

f(g[g^-1(x)]) = |2g^-1(x) - 3|

f(x) = |2g^-1(x) - 3|

El cálculo de g^-1 se hace despejando x en función de y

y = g(x) = 4x^2 - 12x

4x^2 - 12 x - y = 0

$$\begin{align}&x = \frac{12\pm \sqrt{144+16y}}{8}=\\ &\\ &\frac{12\pm4 \sqrt{9+y}}{8}=\frac{3\pm \sqrt{9+y}}{2}\\ &\\ &\text{Y una vez se ha despejado a x se le llama } \\ &g^{-1}(x) \text { y la y se cambia por x}\\ &\\ &g^{-1}(x) = \frac{3\pm \sqrt{9+x}}{2}\\ &\\ &\\ &\text {Y sustituimos esto en la expresión de f(x)}\\ &\\ &f(x) = |2g^{-1}(x)-3|=\\ &\\ &\left|2 \frac{3\pm \sqrt{9+x}}{2}-3\right| = \\ &\\ &\\ &|\pm \sqrt{9+x}|\\ &\\ &\text{Y se puede unificar para las dos ramas}\\ &\\ &f(x)= \sqrt{9+x}\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.

disculpe es que no entendí como paso de 4x^2 - 12 x - y = 0 a

x=12±v144+16y/8

Gracias

Recuerda que un ecuación de segundo grado es:

$$\begin{align}&ax^2+bx+c=0\\ &\\ &\text {Y la solución es: }\\ &\\ &x =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align}$$

pues eso hemos hecho buscar la solución para x siendo

a = 4

b = -12

c = -y

¿Ya lo entendiste?

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