Procesos de Poisson...distribución exponencial!
Espero contar con su apoyo en este problema... Muchas gracias!
Los autos en una agencia de servicio llegan de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa l=3 por hora. Si la agencia abre a las 9:00am. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos clientes hayan entrado antes de las 9:45 am y que un total de 4 autos hayan entrado antes de las 12:00 pm.?
2 respuestas
No cuesta nada hacerlo de las dos formas, ya te digo que yo creo que es la forma segunda, pero tengo una pequeña duda.
Recordemos que la fórmula de probabilidad de la distribución de Poisson es
$$\begin{align}&f(k,\lambda)=\frac{e^{-\lambda}·\lambda^k}{k!}\\&\\&donde \\&\\&\text {k=número de ocurrencias}\\&\lambda\text{=media durante el periodo en estudio}\end{align}$$Interpretación primera, dos preguntas distintas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos clientes hayan entrado antes de las 9:45 am?
$$\begin{align}&\lambda=\frac 34·3 =\frac 94\\&\\&P\left(2,\frac 94\right)=\frac{e^{-\frac 94}·\left(\frac 94\right)^2}{2!}=\frac{81e^{-9/4}}{32}\approx\\&\\&0.2667917872\end{align}$$b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 autos hayan entrado antes de las 12:00 pm.?
$$\begin{align}&\lambda=3·3 =9\\&\\&P(4,9)=\frac{e^{-9}·9^4}{4!}=\frac{2187e^{-9}}{8}\approx\\&\\&0.03373715519\end{align}$$Están sucediendo problemas bastante molestos con el editor de ecuaciones, te mando la primera interpretación porque no me deja escribir nuevas ventanas, me machaca la anterior. Luego te mando la segunda interpretación.
Segunda interpretación y creo que verdadera, una sola pregunta.
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos clientes hayan entrado antes de las 9:45 am y que un total de 4 autos hayan entrado antes de las 12:00 pm.?
La probabilidad sera el producto de las probabilidades de:
2 clientes entre 9 y 9:45
2 clientes entre 9:45 y 12
La primera ya la hemos calculado en el apartado anterior. La segunda la calcularemos ahora teniendo en cuenta que las horas de estudio van a ser
1/4 + 2 = 9/4 hora
y por tanto el número de clientes-autos que se esperan son
3·9/4 = 27/4
$$\begin{align}&P\left(2,\frac {27}4\right)=\frac{e^{-\frac {27}4}·\left(\frac {27}4\right)^2}{2!}=\frac{729e^{-27/4}}{512}\approx\\&\\&0.001667131335\\&\\&\text{y el producto de las dos es}\\&\\&\frac{81e^{-9/4}}{32}·\frac{729e^{-27/4}}{512}=\frac{59049e^{-9}}{16384}\approx\\&\\&0.004447769483\end{align}$$Y eso es todo.
Me parece que son dos casos independientes 2 coches durante 3 x 0.75 = 2.25/ hora ...-lo que sería:
P( 2 , 2.25) = 2.25^2 x (2.7181)^-2.25 / 1 x 2 = 5.0625 x 0.1054 / 2 = 0.26679
El otro caso lo plantearia analogamente.....con lambda = 3 x 3 = 9/ hora
p(4 , 9) = 9^2 x ( 2.7181)^-9 / 1x2x3x4 = 0.0004165