¿Heredo las deudas de mi marido?

Mi marido, del cual estaba hace tiempo separada (no legalmente), falleció el verano pasado (yo me he enterado hace sólo unas semanas). Él tenía deudas (de antes del matrimonio conmigo), no se bien hasta que punto (con algunas financieras, pagos a plazos, este tipo de cosas). Los hijos han renunciado a la herencia (son hijos del anterior matrimonio, entre nosotros no hubo hijos).
¿Pueden pasar a mi esas deudas? ¿Debo hacer algún tipo de renuncia ante notario o algo similar?
Matrimonio era bienes gananciales.
No hay testamento. No hay nada que heredar, ningún bien; solo esas deudas.