¿Cómo resuelvo los ejercicios de limites ?

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Los dos primeros límites no tienen ninguna dificultad, solo hay que evaluar la función en el punto del límite.

1) lim x-->1  de (3x^3-4x+8)  = 3·1^3 - 4·1 + 8 = 3 + 4 + 8 = 15

2) lim x-->o de (x^5-6x^4+7) = 0^5-6·0^4+7 = 0-0+7 = 7

3) Si hacemos la evalución queda 0/0.  Para solucionarlo hay que encontrar factores iguales en el denominador y denominador cuyo valor sea 0, entonces al simplificarlos puede ser que desaparezca la indeterminación

En este caso vemos que el numerador es uno de los llamados productos notables

a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

luego

9 - x^2 = (3+x)(3-x)

y el límite será

$$\begin{align}&\lim_{x\to 3}\frac{9-x^2}{3-x}=\lim_{x\to 3}\frac{(3+x)(3-x)}{3-x}=\\&\\&\lim_{x\to 3} (3+x) = 3+3 = 6\end{align}$$

4)

Tenemos un infinito menos otro infinito más una constante.

La constante nada puede hacer contra los infinitos, se dice que es "despreciable" frente a ellos. Luego tenemos una indeterminación infinito menos infinito. Ahora bien, el primer infinito es mayor que el segundo, también este segundo es despreciable respecto del primero. Entonces el que prevalece es el infinito de x^3 que es positivo, luego el límite es infinito.

Lo haremos de otra forma sin despreciar términos pero la argumentación anterior es la que se emplea.

$$\begin{align}&\lim_{x \to \infty}(x^3-x+100)=\\&\\&\lim_{x\to \infty}{\frac{x^3-x+100}{x^3}}·x^3=\\&\\&\lim_{x\to \infty}{\frac{x^3-x+100}{x^3}}·\lim_{x\to \infty}x^3=\\&\\&\lim_{x\to \infty}\left(1 -\frac{1}{x^2}+\frac{100}{x^3} \right)·\infty=\\&\\&\text{las constantes divididas por }x^n\to 0\\&\\&=(1-0+0)·\infty=1·\infty=\infty\end{align}$$

5)  Tenemos una función constante f(x)=-20

El límite es -20, ya que dado cualquier epsilon>0 existe un L€R, tal que para todo x>L se cumple

|f(x) -(-20)|=|-20+20|=0<epsilon

Y esa es la definición de que límite de f(x) cuando x tiende a infinito es -20

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Y eso es todo.