Calcular el limite (12 5x 6x^2 x^3)/(8 6x 3x^2 x^3) lim-->4
¿Hola me pueden ayudar a calcular estos limites?
2 respuestas
En general, los límites de polinomios cuando x tiende a un número finito (a), se calculan reemplazando en el polinomios el valor de la misma.
La "complejidad" en este ejercicio es que cuando calcules eso te queda una indeterminación 0 / 0 que debes resolver dividiendo por el polinomio (x-a)
Para hacer esto tienes varias opciones, de las cuales creo que la más fácil es la regla de Ruffini (pero no se si se sigue enseñando)
Te dejo una imagen con la aplicación de Ruffini, para que veas la solución, en el caso del ejercicio b, (x-1) divide "cuadráticamente" a ambos polinomios, por lo que aplico Ruffini 2 veces
Luis Aguilar!
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Evaluaremos la función en el punto que nos dan, y si da un valor normal ya está
$$\begin{align}&\lim_{x\to 4}\frac{12+5x-6x^2+x^3}{8-6x-3x^2+x^3}=\\&\\&\frac{12+20-96+64}{8-24-48+64}=\frac 00\end{align}$$Bueno, cabía dentro de lo posible que pasara esto.
0/0 es una indeterminación, hay que simplificar numerador y denominador por el factor (x-4) que vale 0 y a lo mejor ya queda un límite normal
Habrá que usar la regla de Ruffini para hacer la factorización
1 -6 5 12 4 4 -8 12 ----------------- 1 -2 -3 | 0 Y en el denominador tendremos 1 -3 -6 8 4 4 4 8 ----------------- 1 1 -2 | 0
Con esto el límite quedará así
$$\begin{align}&=\lim_{x\to 4}\frac{(x^2-2x-3)(x-4)}{(x^2+x-2)(x-4)}=\\&\\&=\lim_{x\to 4}\frac{x^2-2x-3}{x^2+x-2}=\\&\\&\frac{16-8-3}{16+4-2}=\frac{5}{18}\end{align}$$·
b)
Hagamos una cuenta rápida
(-6+13-7-1+1) / (20-31+3+7+1)=0/0
Da infeterminación, lo suponía.
Usaremos de nuevo la regla de Ruffini para dividir entre -1. Solo que me daré cuenta nada más verlo que el cociente vale 0 para x=1 por lo que volvería a quedar 0/0 y aprovechare sobre el mismo sitio opara dividir otra vez más entre x-1
1 -1 -7 13 -6 1 1 0 -7 6 --------------------- 1 0 -7 6 | 0 1 1 1 -6 ---------------- 1 1 -6 | 0 Ahora ya no vale 0 al evaluar en 1 1 7 3 -31 20 1 1 8 11 -20 --------------------- 1 8 11 -20 0 1 1 9 20 ---------------- 1 9 20 | 0
Luego hemos dividido dos veces entre (x-1) el factor que se simplificará es (x-1)^2
Como es largo y está muy arriba que no lo veo me permito no escribior el límite original
$$\begin{align}&=\lim_{x\to 1}\frac{(x^2+x-6)(x-1)^2}{(x^2+9x+20)(x-1)^2}=\\&\\&=\lim_{x\to 1}\frac{x^2+x-6}{x^2+9x+20}=\\&\\&\frac{1+1-6}{1+9+20}= -\frac {4}{30}=-\frac{2}{15}\end{align}$$Y eso es todo.