Resolver problemas con limites de funciones infinitas

Blanca Meza!

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Hay algunas funciones que no estoy seguro de cómo son, confírmamelas.

$$\begin{align}&a)  \quad Q(t)=6t^2+\frac{5t}{(t+1)^2}\\&\\&b) \quad Q(t)=\frac{6t^2+5t}{(t+1)^2}\\&\end{align}$$

La que has escrito realmente es la a  pero creo que querías decir la b

Recuerda: Todo exponente, numerador o denominador compuesto por más de un término o factor debe ir entre paréntesis.

Luego hay una f(x) que estoy seguro que quieres decir

$$\begin{align}&f(x) = \frac{9-x^2}{3-x}\\&\\&\text{Pero lo que escribiste realamente es}\\&\\&f(x) = 9 -\frac{x^2}{3}-x\end{align}$$

La forma correcta era f(x) =(9-x^2)/(3-x)

Y finalmente hay otra que creo quieres decir

$$\begin{align}&P(t)= \frac{40t}{t^2+10} - \frac{50}{t+1} +70\\&\\&\text{pero lo que escribiste es}\\&\\&P(t)= \frac{40t}{t^2}+10 - \frac{50}t+1 +70\end{align}$$

La forma correcta era

P(t) = 40/(t^2+10) - 50/(t+1) + 70

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Espero confirmes si son ciertas las suposiciones que he hecho.

si son correctas las suposiciones, y en la función del segundo caso es cuando x tiende a 3, una disculpa por la mala redacción, y gracias

En el primero hay que calcular el límite cuando t tiende a infinito

$$\begin{align}&\lim_{t\to\infty}\frac{6t^2+5t}{(t+1)^2} =\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{6t^2+5t}{t^2+2t+1} =\\&\\&\text{divido numerador y denominador por }t^2\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{\frac{6t^2+5t}{t^2}}{\frac{t^2+2t+1}{t^2}} =\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{6+\frac 5t}{1+\frac 2t+\frac 1{t^2}} =\\&\\&\text{una constante entre infinito es 0}\\&\\&=\frac{6+0}{1+0+0}=6\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Luego la producción a largo plazo será 6 miles = 6000 unidades.

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$$\begin{align}&\lim_{x \to 3}\frac{9-x^2}{3-x}=\\&\\&\text{factorizamos el numerador}\\&\text{que es un producto notable}\\&\\&\lim_{x \to 3}\frac{(3+x)(3-x)}{3-x}=\\&\\&\text {simplificamos el factor igual que tienen}\\&\\&\lim_{x \to 3}(3+x)=3+3 = 6\end{align}$$

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$$\begin{align}&P(t)= \frac{40t}{t^2+10} - \frac{50}{t+1} +70\\&\\&\text{Luego en un año}\\&\\&P(0)= \frac{40·0}{0^2+10} - \frac{50}{0+1} +70=\\&\\&0-50+70=20\\&\\&\text{como son miles}\\&\\&20000\; personas\\&\\&\\&2) \\&P(5)= \frac{40·5}{5^2+10} - \frac{50}{5+1} +70=\\&\\&\frac{200}{35}-\frac{50}{6}+70=\\&\\&5.7142857-8.3333333+70 = 67.38095237\\&\\&\text{como son miles y redondeando}\\&\\&67381 \;personas\\&\\&3)\\&\\& \lim_{t\to\infty}\left(\frac{40t}{t^2+10} - \frac{50}{t+1} +70\right)=\\&\\&\text {dividimos entre t numerador y denominador}\\&\\& \lim_{t\to\infty}\left(\frac{40}{t+\frac{10}t} - \frac{50}{t+1} +70\right)=\\&\\&\frac{40}{\infty+0}-\frac{50}{\infty+1}+70=\\&\\&\frac{40}{\infty}-\frac{50}{\infty}+70=\\&\\&0-0+70=70\\&\\&\text{que serán 70000 personas}\\&\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo.

Y en el caso de:

lim x→∞f(x)=-20

¿cómo se resuelve?

Era tan pequeña la pregunta que no la vi.

Es muy sencillo el límite es -20.

La función vale siempre, para cualquier valor K arbitrariamente grande la función seguirá valiendo 20, luego para todo x>K se cumplirá

|f(x)-20|= 0 < epsilon

Y eso es la definición de que f(x) tiene límite 20 en el infinito.

¡Gracias! gracias por la ayuda y las explicaciones tan claras