Cual es la solución del sig. Problema de área entre curvas (3)
1) Calcular el área de la región acotada por las curvas
$$\begin{align}&f(x)=x^3-2x^2+x\\&\\&g(x)=3x-x^2-1\end{align}$$Se trata de una ecuación cúbica y sus raíces son: x = 0, x =2 y x= -1. Se deberá justificar por qué éstas son sus raíces al realizar todo el desarrollo.
*Realizar la gráfica
En la gráfica ya realizada se integrará en dos momentos, uno en el intervalo (-1,0) y otro en el intervalo (0,2). El resultado de ambas integraciones se sumará y esa será el área total.
2 respuestas
En principio se trata de integrar una cúbica y una cuadrática, pero te deberían decir en que intervalo (como figura en la última parte de tu pregunta).
En principio las raices que te dan (0; 2 y -1) NO son raíces de ninguna de las funciones involucradas.
Te dejo una imagen de las gráficas involucradas
Si podés aclarar un poco más la pregunta, intentaré darte un poco más de precisión.
Saludos Gustavo
¿
Podrías volver a calcular el área y trazar la gráfica por favor?, hubo un error se había omitido (-1) en f(x), g(x) queda sin cambios
$$\begin{align}&f(x)=x^3-2x^2+x-1\\&\\&g(x)=3x-x^2-1\end{align}$$tengo otra respuesta pero quisiera cotejarla con una nueva de tu parte
Gracias
Te dejo la imagen de lo pedido
Por lo demás la respuesta es la misma que ya te dieron ya que ahora sí las raíces que te dan son las raíces del polinomio "f-g" y deberías calcular el área en las dos secciones (entre -1 y 0 haciendo f-g; y luego entre 0 y 2 haciendo g-f)
·
Hay que comprobar que el valor de las dos funciones coincide en cada uno de esos puntos. O expresado de otra forma que esos puntos son las raíces de la diferencia de las dos funciones
f(x)-g(x) = x^3 - 2x^2 + x - (3x - x^2 - 1)=
x^3 - 2x^2 + x - 3x + x^2 + 1 =
x^3 - x^2 + x + 1
Y vemos que no es cierto
(f-g)(0) = 1
(f-g)(1) = 2
(f-g)(2) = 8-4+2+1 = 7
Ninguna de las raíces es verdadera para los puntos de corte de las funciones.
Aunque sobrara g(x) tampoco sería cierto para f(x) ya que 2 no es raíz de f(x)
Debe haber algún error en el enunciado. Revísalo
Saludos valeroasm
Realmente la maestra planteo el problema así a propósito, se trata de desmentirlo pero desarrollándolo.
Podrías hacer el desarrollo del problema, es decir los cálculos para llegar a esas raíces cuando (f-g)(0) = 1, (¿f-g)(-1) = 2 y (f-g)(2) = 7 y trazar la gráfica por favor?
Después dice:
"En la gráfica ya realizada se integrará en dos momentos, uno en el intervalo (-1,0) y otro en el intervalo (0,2). El resultado de ambas integraciones se sumará y esa será el área total." no se como sea esta cuestión, lo más seguro es que esos intervalos no son verdaderos por lo mismo que las raíces que la maestra pone son falsas.
Gracias y disculpa mi insistencia e ignorancia en estas cosas de calculo.
Subí un 2do problema similar que dice el enunciado que "tiene un error y el cuál se debe encontrar y corregir para la resolución correcta del problema."
$$\begin{align}& \end{align}$$Bueno, entonces tomemos las funciones y lo resolvemos bien si se puede.
Calculamos las raíces verdaderas.
f(x)-g(x) = x^3 - 2x^2 + x - (3x - x^2 - 1)=
x^3 - 2x^2 + x - 3x + x^2 + 1 =
x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0
¡Ay! Que me equivoqué la vez anterior cuando puse +x en vez de -2x. Pero aun así las que dicen no son las raíces.
¿Y yo no sé que quiere que hagáis? Cuando se pone una ecuación de tercer grado se supone que va a tener alguna solución fácil para empezar, y esta no tiene soluciones fáciles.
Las soluciones calculadas con programas especiales son:
x=-1.2469796...
x=0.4450418679...
x=1.8019377358...
Esta es la gráfica
Entonces el área debe calcularse en dos veces
Primero la comprendida entre -1.2469796 y 0.4450418679 en la que el integrando será f(x)-g(x)
Y luego la comprendida entre 0.4450418679 y 1.8019377358 en la que el integrando es el opuesto g(x)-f(x)
Después se sumaran las dos áreas obtenidas, que tal como lo hemos hecho deben ser las dos positivas.
$$\begin{align}&Area=\int_{-1.2469796}^{0.4450418679}(x^3-x^2-2x+1)dx+\\&\int_{0.4450418679}^{1.8019377358}(-x^3+x^2+2x-1)dx=\\&\\&\\&\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-x^2+x \right]_{-1.2469796}^{0.4450418679} +\\&\\&\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+x^2-x \right]_{0.4450418679}^{1.8019377358}=\\&\\&0.2274047688 +1.551130346+\\&0.7596077563+0.2274047688=\\&\\&2.76554764\\&\end{align}$$Y eso es todo. O no entendí que debéis hacer, o es una tarea desmedida, o hay un fallo en las funciones del enunciado.