Demuestre que la funcion f: [-2,2]→[8,16] definida por f(x)=3x^2+2x ,es

Hola Melinka P Alvarezanichine

a)

La función es derivable, luego será positiva donde la derivada sea creciente, veamos cual es

f(x) = 3x^2 + 2x

f '(x) = 6x + 2

Veamos donde se hace 0

6x+2 = 0

x = -1/3

Pues NO es creciente en todo el intervalo [-2,2]

Antes de -1/3 la derivada es negativa, por ejemplo en x=-1 tenemos 6(-1)+2 = -4 <0

Y después de 1/3 la derivada es positiva, por ejemplo en x=0 que vale 2

Luego

La función es decreciente en [-2, -1/3)

y es creciente en (-1/3, 2]

b)

La función no es 1 a 1 al ser creciente y decreciente una línea horizontal corta a la fucnión por dos puntos en bastantes alturas. Por ejemplo hagamos y=0

0= 3x^2+2x

x(3x+2) = 0

las soluciones son

x=0

x = -2/3

ambos son puntos del dominio, luego tenemos

f(0) = f(-2/3) = 0

y por lo tanto no es inyectiva (uno a uno)

Para que sea inyectiva tienes que tomar como dominio uno en el que sea solo creciente o solo deccreciente, luego puedes tomar uno de los calculados antes, incluso puedes añadir el punto donde no crece no decrece

D = [-2, -1/3]

o

D = [-1/3, 2]

c)  Su inversa se calcula despejando x en la función

y = 3x^2+2x

3x^2 + 2x - y = 0

$$\begin{align}&3x^2+2x-y=0\\ &  \\ &  x= \frac{-2\pm \sqrt{4+12y}}{6}= \frac{-1\pm \sqrt{1+3y}}{3}\\ &  \\ &  \text{Y por ponerlo más claro se pone en función de x}\\ &  \\ &  f^{-1}(x)=\frac{-1\pm \sqrt{1+3y}}{3}\end{align}$$

Pero esto en realidad son dos funciones, cada una de ellas será la inversa en un determinado intervalo.

La parte derecha de f(x) tenia el punto (2,16), la inversa de la parte derecha tendrá el punto (16,2)

de las dos ramas de la inversa es la que tiene signo + la que lo cumple

[-1 + sqrt(1+3·16)] / 3 = (-1 + 7)/ 3 = 2

Necesitaremos tambíen conocer el valor de la función en el punto que separa las dos inversas

f(-1/3) = 3(1/9)-2/3 = 1/3 - 2/3 = -1/3

Luego el punto (-1/3, -1/3) pertenece a la función y es principio de una y final de la otra

Las dos inversas posibles son

$$\begin{align}&f_1^{-1}:\left[-\frac 13, 8\right]\rightarrow\left[ -2, -\frac 13 \right] \\ &\\ &f_1^{-1}(x)=\frac{1- \sqrt{1+3y^2}}{3}, \\ & \\ &\\ &f_2^{-1}:\left[-\frac 13, 16\right]\rightarrow\left[-\frac 13,2 \right]\\ &\\ &f_2^{-1}(x)= f^{-1}(x)=\frac{-1+ \sqrt{1+3y^2}}{3}\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo, no es ciertamente una parte fácil de la matématica.  Si no entendiste algo pregúntame.  Y si ya está bien no olvides valorar.