Calculo de área entre curvas (3) (corrección de enunciado)
Calcula el área de la región acotada por las curvas.
En la primera publicación de este problema hubo un error en la ecuación de f(x), es decir, se había omitido el (-1), g(x) queda sin cambios.
$$\begin{align}&f(x)=x^3-2x^2+x-1\\&g(x)=3x-x^2-1\end{align}$$*Trazar la grafica
supuestamente las raices son x=0, x=2 y x= -1, pero es una trampa, no es verdad.
Después el problema dice:
"En la gráfica ya realizada se integrará en dos momentos, uno en el intervalo (-1,0) y otro en el intervalo (0,2). Y el resultado de ambas integraciones se sumarás y esa será el área total."
No se si esto ultimo, que esta resaltado, sea verdad...
1 Respuesta
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En un ejercicio de área entre curvas f(x) y g(x) las raíces de f(x) y g(x) no tienen mucha importancia, las importantes son las raíces de f(x)-g(x)
f(x)-g(x) = x^3 -2x^2 +x - 1 - (3x - x^2 -1) =
x^3 - 2x^2 + x - 1 - 3x + x^2 +1 =
x^3 - x^2 - 2x
La raiz x=0 se ve inmediatamente y dividiendo entre x queda
x^2 - x - 2
se comprueba que en -1
(-1)^2 -(-1) - 2 = 1+1-2=0
Luego -1 también es raíz
Y se comprueba el 2
2^2 - 2 - 2 = 0
Que también es raíz.
Esta vez nos han dicho la verdad en cuanto a las raíces.
Y entonces la frase en negrita está bien. Unicamente advertir que sería más exacto decir que se sume el valor absoluto de las dos integrales obtenidas, asi te evitas el tener que averiguar cuál es la función superior y la inferior en cada uno de los trozos.
$$\begin{align}&A=\left|\int_{-1}^0( x^3-x^2-2x)dx\right|+\left|\int_{0}^2( x^3-x^2-2x)dx\right|=\\&\\&\left|\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-x^2\right]_{-1}^0 \right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-x^2\right]_{0}^2 \right|=\\&\\&\left|0-0-0-\frac 14 -\frac 13+1 \right|+\left|2-\frac 38-4-0+0+0 \right|=\\&\\&\left|\frac{-3-4+12}{12} \right|+\left|-\frac {19}8 \right|\\&\\&\frac 5{12}+\frac{19}{8}= \frac{10+57}{24}=\frac{67}{24}\end{align}$$Revisa las cuentas, es fácil equivocarse y he podido hacerlo.
