Ayuda urgente por favor en matemáticas

1: Esta es un tabla :

Nombre Fórmula Ejemplo
Derivada de una constante
f(x)= c
Derivada de una variable elevada a un número n
f(x)=xn

Derivada de una suma de funciones

Derivada de un producto de funciones

Derivada de un cociente de funciones

Derivada del producto de una constante por una función

Derivadas de las funciones trigonométricas

2. Determina las derivadas de cada una de las siguientes funciones aplicando las reglas de derivación investigadas:
1. F(x)= x3
2. F(x)= 3x2
3. F(x)= 4x2 -3x+2

4.f(x)= senx
5. F(x)= tanx
6. F(x)= 25
7. F(x)= (-5x)(7x2)

1. Plantear el problema. Se quiere construir una caja de volumen máximo utilizando una pieza cuadrada de aluminio de 10 centímetros por lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando las partes restantes, ¿cuál debe ser la altura de la caja, para obtener un volumen máximo?

Para plantear esta situación te recomendamos lo siguiente:
a) Recorta una hoja del tamaño que se indica, cuadrado de 10 cm. De lado.
b) En cada esquina recorta un cuadrado, de la medida que quieras, pero los cuatro cuadrados deben ser iguales.

c) Ahora forma la caja. La pregunta es: ¿De qué altura debe ser la caja para alcanzar el volumen máximo?

d) Al centro se forma un cuadrado de lado 10-2x

¿Por qué 10-2x?, el lado es de 10 centímetros y le quitas dos x por el recorte que se hace de cada esquina.
e) ¿Cómo obtenemos el volumen de una caja? Área de la base por la altura.
f) Volumen es igual = base por altura, la base es un cuadrado de lado 10-2x, por la altura que es “x”, la base como es un cuadrado su área quedaría así B=(10-2x)(10-2x).

2. Escribe la relación matemática entre las variables.

V= volumen
V= (10-2x)(10-2x)(x)
Efectúa la multiplicación para que te sea más fácil derivar.
Escribe aquí el resultado.
__________________________________
Completa los siguientes pasos, tal como se hizo en el primer ejemplo.

3. Derivar la función.?
4. Igualar a cero la derivada y resolver.?
5. Los valores encontrados sustituirlos en la función que deseamos maximizar.?

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Respuesta
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f(x)=c     f'(x)=0                (6)'=0
f(x)=x^n   f'(x)=nx^(n-1)         (x^4)'= 4x^3
(f+g)(x)   (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)  (x^3+x^2)'=3x^2+2x
(f·g)(x)   (f·g)'=f'g+fg'         (x·senx)'=sen+x·cosx
(f/g)(x)   (f/g)'=(f'g-fg')/g^2   (x/senx)'=(sen-x·cosx)/sen^2(x)
k·f(x)     (kf)'(x)=k·f'(x)       (5senx)' =5cosx
senx       sen'(x)=cosx           sen'(5x)=5cos(5x)
cosx       cos'(x)=-senx          cos'(4x^2)=-8x·sen(4x^2)
tgx        tg'(x)=sec^2(x)        tg'(7x)=7·sec^2(7x)
ctgx       ctg'(x)=-cosec^2(x)    ctg'(5x)=-5cosec^2(5x)
secx       sec'(x)=secx·tgx       sec'(4x)=4sec(4x)·tg(4x)
cscx       csc'(x)=-cscx·ctgx     csc'(3x)=-csc(3x)·ctg(3x

2)

1. f(x)= x^3          f'(x)=3x^2
2. f(x)= 3x^2         f'(x)=6x
3. f(x)= 4x^2 -3x+2   f'(x)=8x-3
4.f(x)= senx          f'(x)=cosx
5. f(x)= tgx          f'(x)=sec^2(x)
6. f(x)= 25           f'(x)=0
7. f(x)= (-5x)(7x^2)  f'(x)=-35x^2-70x^2=-105x^2

3) Vale, nos va indicando todo hasta llegar a que el volumen es

V(x) =(10-2x)(10-2x)x

Multiplicamos

V(x) = (100 - 4x + 4x^2)x

V(x) = 100x - 4x^2 + 4x^3

Derivamos la función y la igualamos a 0

V'(x) = 100 - 8x + 12x^2 = 0

Incluso ordenamos y dividimos entre 4 para que las cuentas sean más fáciles

3x^2 - 2x + 25 = 0

x = [2 +- sqrt(4+4·3·25)] / 6 =

[2 +- sqrt(4+300)] / 6 =

[2 +- sqrt(304)] / 6 =

[2 +- 4sqrt(19)] / 6 =

[1 +- 2sqrt(19)] / 3 = 3.239265962 y -2.572599296

La respuesta negativa no sirve ya que no es recortar sino añadir mas chapa de la que hay. Además se obtiene área negativa luego no pude ser el máximo.

V(x)=x(10-2x)^2=

3.239265962 · (10 - 2 · 3.239265962)^2 =

3.239265962 · (3.521468075)^2 =

3.239265962 · 12.40073741 =

40.16928323 cm^3

Y eso es todo.

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