Dadas las funciones f(x) =|2x+1| y g(x) =|x-4| hallar la funcion por secciones para la funcion (f+g)(x)

1.- Sumando los trozos correspondientes de cada función f y g.

Al sacar las barras de valor absoluto, cada función consta de dos trozos opuestos:

·

1)

f(x) + g(x) = |2x+1| + |x-4|

Vamos a calcular el punto donde cambia de signo f

2x+1 <= 0

2x <= -1

x <= -1/2

Si x < -1/2 se cumple 2x+1 < 0

Si x = -1/2 se cumple 2x+1 = 0

Si x > -1/2 se cumple 2x+1 >0

Y el de g es

x-4 <= 0

x <= 4

Si x < 4 se cumple x-4 < 0

si x = 4 se cumple x-4 = 0

Si x > 4 se cumple x-4 = 0

Cuando el interior de un valor absoluto sea positivo se puede quitar el valor absoluto, cuando sea negativo hay que cambiar el signo en todos los términos del interior para poder quitar el valor absoluto

Entonces los puntos de corte determinan tres zonas:

(-Infinito, -1/2] los interiores del valor absoluto de f y g son negativos, luego para suprimirlos hay que cambiar el signo de los dos y queda

(f+g)(x) = -(2x+1) - (x-4)= -2x - 1 - x + 4 = -3x + 3

·

(-1/2, 4] el interior de f es positivo y el de g es negativo

(f+g)(x) = 2x+1 -(x-4) = 2x + 1 - x + 4 = x + 5

(4, +infinito)  Ambos son positivos

(f+g)(x) = 2x+1 + x - 4 = 3x - 3

·

·

2)

$$\begin{align}&(fof)(x) = f[f(x)]=\\&\\&\frac {1}{f(x)+1}= \frac{1}{\frac{1}{x+1}+1}=\\&\\&\frac{1}{\frac{1+x+1}{x+1}}= \frac{1}{\frac{x+2}{x+1}}=\frac{x+1}{x+2}\\&\\&\text{Y por lo que nos dicen}\\&\\&\frac{x+1}{x+2}=x\\&\\&x+1 = x(x+2)\\&\\&x+1 = x^2+2x\\&\\&x^2+2x-x-1 = 0\\&\\&x^2+x-1=0\\&\\&x=\frac{-1\pm \sqrt{1+4}}{2}\\&\\&x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\end{align}$$

Y ahí están las dos soluciones una con el signo + y otra con el -.