Poner o no coche

Trabajo en una administración local bajo las condiciones de un convenio colaborador con otra entidad que pone el dinero y las funciones de trabajo y el resto lo gestiona la administración local. Este año el convenio al que se remite nuestras funciones impone la necesidad de asistir a los pueblos de la comarca que atendemos, es decir, hacer itinerancias, pero en ningún caso especifica que sea yo quien tenga que poner el coche. En ningún caso ni yo ni mis compañeras nos negamos a hacer esos viajes que incluso estimamos necesarios, pero nos preocupa la obligatoriedad o no de poner nuestro coche que es lo que hacemos hasta ahora, pues nos planteamos la posibilidad de que no tengamos coche, se nos rompa, tengamos un accidente... Y si tenemos que comprarnos un coche y no tenemos medios económicos para afrontar este gasto, ¿nos pueden echar? ¿Tenemos derecho a exigir un medio de locomoción y negarnos a poner el nuestro? El convenio sólo exige hacer las itinerancias pero no poner nuestro coche particular.
Quisiera saber si pueden obligarnos a poner nuestro coche, si podemos exigir un medio de locomoción y qué legislación o jurisprudencia puedo alegar en este aspecto, dado que queremos llevarlo todo muy bien atado a la hora de plantear nuestras exigencias con los preceptos legales que nos amparen.
Gracias anticipadas.