Ecuaciones Diferenciales. Series de potencia

Encuentre una solución en series de potencia, para la siguiente:

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Me imagino es una edo homogénea, suponiendo eso

$$\begin{align}&y = \sum_{n\geq0}a_nx^n\\&y' = \sum_{n\geq0}a_nnx^{n-1}\\&y''=  \sum_{n\geq0}a_nn(n-1)x^{n-2}\\&\\& \sum_{n\geq0}a_n\left[(2+x)n(n-1)x^{n-2} +xnx^{n-1}+3x^n\right] = 0\\&  \sum_{n\geq0}a_n\left[2n(n-1)x^{n-2} + n(n-1)x^{n-1} +nx^n+3x^n\right] = 0\\&  \sum_{n\geq0}a_n 2n(n-1)x^{n-2}+    \sum_{n\geq0}a_n  n(n-1)x^{n-1} +  \sum_{n\geq0}a_n (n+3)x^n=0\\&\\&\text{Para la primera serie hacemos el cambio }  k=n-2\\&\text{Para la segunda hacemos el cambio } j = n-1\\&\\&  \sum_{k\geq-2} 2a_{k+2}(k+2)(k+1)x^k + \sum_{j\geq-1}a_{j+1}(j+1)jx^j +  \sum_{n\geq0}a_n (n+3)x^n = 0\\&\\&\text{Para la primera suma, para k= -2,-1 los terminos son 0, lo mismo sucede en la}\\&\text{segunda serie con j = -1. Podemos empezar entonces en k=0 y j=0}\\&\text{Ademas, la j y la k son ``dummy variables". Podemos cambiarlas por n y queda}\\& \sum_{n\geq0} [2a_{n+2}(n+2)(n+1) +a_{n+1}(n+1)n+ a_n (n+3)] x^n = 0 \\&2a_{n+2}(n+2)(n+1) +a_{n+1}(n+1)n+ a_n (n+3)=0\end{align}$$

Haciendo los cálculos a mano no parece que haya una forma sencilla de escribir los términos, así que o cometí un error en alguna operación(que puede ser pero no encuentro el fallo si lo hice) ó, no es homogenea... De cualquier forma siempre sigues estos pasos

Que también hay que decirlo... aunque no sea homogénea, el término homogéneo de la solución no parece tener unos coeficientes que se obtengan de forma inmediata

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