Si la siguiente Ecuación Diferencial es Exacta, si lo es resuélvala

Está respondida ayer.

Es Exacta.

[???(?)???(?) - ???]?? + ?(? - ??)?? = ?;  o:

[???(?)???(?) - ???]?? + (y - y??)?? = ?;

[???(?)???(?) - ???]?y = -2xy;

(y - y??)?x= -2xy;  iguales valores, es Exacta.

el 4 ene.

Norberto Pesce

Integro dx:  ∫ [???(?)???(?) - ???]?x;  

La primera por partes, cíclica:  u=senx;  du=cosx;           v=senx;  dv=cosx;

∫ senxcosx*dx = sen^2x - ∫ senxcosx*dx;  

2 ∫ senxcosx*dx = sen^2x;  

∫ senxcosx*dx = (1/2) sen^2x;

La segunda parte es directa:  (-1/2) x^2y^2;  queda:

(1/2) sen^2x - (1/2) x^2y^2 + f(y) = 0;  recordar que C en este caso es f(y).

Derivo dy:  -yx^2 + f ' (y) = 0.

Igualo: y - yx^2 = - yx^2 + f ' (y);   Simplifico:

y = f ' (y);  integro:

(1/2) y^2 + C= f(y);  reemplazo en:  (1/2) sen^2x - (1/2) x^2y^2 + f(y) = 0

(1/2) sen^2x - (1/2) x^2y^2 + (1/2)y^2 = C.   

Este resultado puede simplificarse eliminando el 1/2 pero recordar agregarlo en la comprobación si se desea hacer.    sen^2x - x^2y^2 + y^2 = C.   

Puedo corroborar por derivación:

(senxcosx - y^2x) dx;  es correcto;

(Y - x^2y) dy; también es correcto.