Demostración de límites, capítulo de sucesiones infinitas Spivak

$$\begin{align}&\lim\limits_{n\to\infty}a_n=l~~ \cdot \equiv\cdot~~(\forall \varepsilon>0)(\exists N_\varepsilon\in \mathbb{N}):n>N_\varepsilon\Longrightarrow |a_n-l|<\varepsilon\\&\\&|(a_1-l)+(a_2-l)+\cdots+(a_n-l)|=|(a_1+a_2+\cdots+a_n)-nl|\\&\\&|(a_1+a_2+\cdots+a_n)-nl| = |(a_1-l)+(a_2-l)+\cdots+(a_n-l)|\\&\\&|(a_1+a_2+\cdots+a_n)-nl|\leq |a_1-l|+|a_2-l|+\cdots+|a_n-l|\\&\\&\left|\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-l\right|\leq \frac{|a_1-l|+|a_2-l|+\cdots+|a_n-l|}{n}\\&\\&\left|\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-l\right|\leq\frac{1}{n}\left(\sum\limits_{\eta=1}^{N_\varepsilon-1}|a_\eta-l|+\sum\limits_{\eta=N_\varepsilon}^{n}|a_\eta-l|\right)\\&\\&\left|\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-l\right|<\frac{1}{n}\left[\sum\limits_{\eta=1}^{N_\varepsilon-1}|a_\eta-l|+(n-N_\varepsilon+1)\varepsilon\right]\\&\\&\left|\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-l\right|<\frac{1}{n}\left[\sum\limits_{\eta=1}^{N_\varepsilon-1}|a_\eta-l|+(1-N_\varepsilon)\varepsilon\right]+\varepsilon\\&\\&\text{Veamos por partes:}\\&\bullet \text{ La sumatoria tiene una cantidad finita de sumandos}\\&\bullet \text{ Ya que $\{a_n\} $ es convergente entonces $\{a_n-l\} $ también converge}\\&\bullet \text{ $N_\varepsilon$ es un número natural fijo, el número real $\varepsilon$ es cualquiera}\\&\bullet \text{ Por ende $A=\sum\limits_{\eta=1}^{N_\varepsilon-1}|a_\eta-l|+(1-N_\varepsilon)\varepsilon$ es finito}\\&\\&\left|\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-l\right|<\frac{A}{n}+\varepsilon\\&\\&\text{Por el axioma de Arquímedes tenemos $(\epsilon-\varepsilon)n>A$ , donde $\epsilon >\varepsilon>0$}\\&\\&\text{Así }\left|\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-l\right|<\epsilon, \forall \epsilon >0\text{ , con $n>N_\epsilon\in \mathbb{N}$, es decir }\\&\\&\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=l\\&\\&\end{align}$$

                                                                                                                                                       L.Q.Q.D

Hola perdón, crees poder hacer la demostración con ayuda del siguiente ejercicio:

Suponga que f es integrable en [0,x] para todo x>0 y 

$$\begin{align}&\lim_{x \to \infty}f(x)= a . \;\end{align}$$

Demuestre que

$$\begin{align}&\lim_{x \to \infty}{1\over x} \int_{0}^{x}  f(t) dt \; = a\end{align}$$