Encontrar las siguientes series y sucesiones
Por favor formule f(x) = senx como la suma de su serie de Taylor centrada
En
2 Respuestas
Respuesta de Lucas m
1
;)
Hola flover!
$$\begin{align}&f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+ \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+ \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+·······\\&\\&\\&f(\frac{\pi} 3)=sen \frac{\pi} 3 = \frac{\sqrt 3} 2\\&\\&f'(x)=cosx \Rightarrow f'(\frac{\pi} 3)=\cos(\frac{\pi} 3)=\frac 1 2\\&\\&f''(x)=-senx \Rightarrow f''(\frac{\pi} 3)=- \frac {\sqrt 3 } 2\\&\\&f'''(x)=-cosx \Rightarrow f'''(\frac{\pi} 3)=- \frac 1 2\\&\\&f'^v(x)=senx \Rightarrow f'^v(\frac{\pi} 3)= \frac { \sqrt 3 } 2\\&\\&y \ se \ van \ repitiendo\\&\\&sen(x) \simeq \frac{ \sqrt 3}2+ \frac 1 2(x -\frac{\pi} 3)- \frac{\sqrt 3} 2·\frac 1 {2!}(x-\frac{\pi} 3)^2-\frac 1 2 \frac 1 {3!}(x-\frac{\pi} 3)^3+ \frac{\sqrt 3} 2 \frac 1 {4!}(x-\frac{\pi} 3)^4+········\end{align}$$Saludos
;)
;)
Respuesta
1
El tema es que no te dicen cuantos términos debes considerar. Veamos lo que sabemos:
$$\begin{align}&sen(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}\\&\cos(\pi/3) = \frac{1}{2}\\&\text{También sabemos que el polinomio de Taylor es:}\\&P(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{n}(\pi/3)}{n!}(x-\pi/3)^n\\&\text{Calculemos algunas derivadas}\\&f(x) = sen(x) \to f(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}\\&f'(x) = \cos(x) \to f'(\pi/3) = \frac{1}{2}\\&f''(x) = -sen(x) \to f(\pi/3) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\\&f'''(x) = - \cos(x) \to f(\pi/3) = -\frac{1}{2}\\&f^{iv}(x) = sen(x) \to f(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}\\&\text{y a partir de aquí comenzamos nuevamente}\\&\text{Por lo tanto el polinomio queda:}\\&P(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{(x-\pi/3)^0}{0!}+ \frac{1}{2}\frac{(x-\pi/3)^1}{1!}-\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{(x-\pi/3)^2}{2!}- \frac{1}{2}\frac{(x-\pi/3)^3}{3!} + \epsilon _3\\&Reacomodando...\\&P(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}+ \frac{(x-\pi/3)}{2}-\frac{\sqrt{3}(x-\pi/3)^2}{4}- \frac{(x-\pi/3)^3}{12} + \epsilon _3\end{align}$$Como no aclarás cuantos términos lo dejo ahí y te dejo la expresión del error.
Salu2
$$\begin{align}&\epsilon _3 = \frac{f^{iv}(\psi)}{4!}(x-\pi/3)^4..........\psi \in (\pi/3,x)\\&=\frac{sen(\psi)}{24}(x-\pi/3)^4\le \frac{1}{24}(x-\pi/3)^4\\&\text{y si x está a menos de 1 de distancia de }\pi/3\\&\frac{1}{24}(x-\pi/3)^4 \le \frac{1}{24}=0.041\overline{6}\\&\text{Es un error de casi el 5%, tal vez debas agregar más términos}\end{align}$$No puse la expresión del error, pero hasta el término que llegué será: