Realizar con derivada y con su gráfica.

La situación es la siguiente:

OB=R (radio esfera)=3

MB=r (radio base cilindro)

BC=h  (altura cilindro)

Pitágoras:

$$\begin{align}&AB^2+AD^2=DB^2\\&\\&(2r)^2+h^2=(2R)^2\\&\\&4r^2+h^2=4R^2 \Rightarrow r^2 = \frac 1 4 (4R^2-h^2)\\&\\&V_{cilindro}= \pi r^2 h= f(r,h)\\&\\&V=f(h)\\&V=\frac{\pi} 4(4R^2-h^2)h= \frac{\pi} 4(4R^2h-h^3)\\&Derivando\\&R=3\\&\\&V'(h)= \frac{\pi} 4 \Big[4R^2-3h^2 \Big]\\&\\&máximo \Rightarrow V'=0 \Rightarrow \frac{\pi} 4 \Big[4R^2-3h^2 \Big]=0\\&\\&4R^2=3h^2\\&\\&h^2=\frac{4R^2}{3} \Rightarrow h =\frac {2}{ \sqrt 3 }R= \frac{2 \sqrt 3}{3}R=2 \sqrt 3\\&\\&r^2=\frac 1 4 (4R^2-h^2)= \frac 1 4(36-12)=6\\&\\&r=\sqrt 6\\&\\&V_{max}= \pi r^2 h= \pi 6·2 \sqrt 3=12 \pi \sqrt 3 \ \ u^3=65.296 \u^3\end{align}$$

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