Limites existen o no y por que

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¡Hola José!

Antes de nada una aclaración. Los límites existen si y solo si coinciden por ambos lados y son números finitos. El límite llamado infinito o menos infinito o más infinito no existe aunque sea el mismo por los dos lados.

$$\begin{align}&1)\lim_{x\to 5^+} \frac{x-5}{x^2-25}=\lim_{x\to 5^+}\frac{x-5}{(x+5)(x-5)}= \\&\\&\lim_{x\to 5^+}\frac{1}{x+5}= \frac 1{10}\qquad existe\\&\\&\\&\\&2) \lim_{x\to 2^+} \frac{2-x}{x^2-25}=\lim_{x\to 2^+}\frac{2-x}{(x+2)(x-2)}= \\&\\&\lim_{x\to 2^+}\frac{1}{x+2}= \frac 1{4}\qquad existe\\&\\&\\&\\&3) \lim_{x\to0^-} \frac{2x+x^2}{x}=\lim_{x\to 0^-} \frac{x(2+x)}{x}=\\&\\&\lim_{x\to0^-}(2+x)=2\qquad existe\\&\\&\\&4) \lim_{x\to 4^-} \frac{\sqrt x -2}{x-4}= \lim_{x\to 4^-} \frac{\sqrt x -2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt x-2)}=\\&\\& \lim_{x\to 4^-} \frac{1}{\sqrt x +2}=\frac{1}{2+2}= \frac 14\quad existe\\&\\&\\&5) \lim_{x\to 2^+} \frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to 2^+} \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=\\&\\&\lim_{x\to 2^+} (x+2)= 4\qquad existe\\&\\&\\&\\&6) \lim_{x\to 2} \frac{|x-2|}{x-2}\\&\\&\text{Este es el que tiene algo de interes}\\&\text{no podemos simplificar x-2 tal cual}\\&\\&\text {el límite por la izquierda es:}\\&\lim_{x\to 2^-} \frac{|x-2|}{x-2}=\\&\\&como\; x-2<0\implies |x-2|=-(x-2)\\&\\&= \lim_{x\to 2^-} \frac{-(x-2)}{x-2}= -1\\&\\&\text{y por la derecha al ser } x-2\gt0\implies |x-2|=x-2\\&\\&\lim_{x\to 2^+} \frac{|x-2|}{x-2}=\lim_{x\to 2^-} \frac{x-2}{x-2}=1\\&\\&\text{Como los límites latrerales son distintos no existe el límite}\\&\\&\\&7. \lim_{x\to 0-} \frac{|x|}{x}=\\&\\&Como \;x\lt 0\implies |x|=-x\\&\\&=\lim_{x\to 0^-} \frac{-x}{x}=-1\qquad existe\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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