Encontrar las ecuaciones de la curva

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¡Hola Víctor!

No se puede mandar un ejercicio así sin saber el contexto, pero vamos a suponer que son parábolas. Aunque una función coincida en tres puntos con una parábola no tiene porque ser una parábola, eso deberían decirlo en el enunciado.

Bueno, la parábola izquierda esta bien clara

(0, 0)

(1, 1)

(3, 9)

Solo puede ser

y=x^2

Y la segunda que ve que es la mima desplazada a la derecha 2 puntos

y = (x-2)^2

(0, 4)

(1,1)

(2,0)

Es esa en efecto:

y = x^2 - 4x + 4

Y el área verde es 

$$\begin{align}&A=\int_0^1(x^2-4x+4-x^2)dx=\\&\\&\int_0^1(-4x+4)dx=\left[  -2x^2+4x\right]_0^1=-2+4 = 2\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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A parte de las dos respuestas analíticas que han apuntado Lucas y Valero, te adjunto una respuesta gráfica que he obtenido con GEOGEBRA (Software Libre).

Como se aprecia que las curvas son simétricas he podido deducir cinco puntos por las que pasan por cada una de ellas. Con cinco puntos puedo trazar la cónica (el programa me da la función).

Posteriormente calculo el área verde (s1) de la curva f(x) entre [0,2] 

Posteriormente calculo el área roja (s2) de la curva g(x) entre [0,1] 

Finalmente el área buscada (sT) es la diferencia entre (s1) y el doble de (s2)

Lógicamente el resultado coincide con las respuestas anteriores sT = 2

Te adjunto captura de imagen del geogebra

;)
Hola Victor!

Esas funciones son parábolas.

g(x) evidentemente es la de x^2

y f(x) es lamisma pero traslada dos  unidades a la derecha: f(x)=g(x-2)

$$\begin{align}&g(x)=x^2\\&f(x)=(x-2)^2=x^2-4x+4\\&\\&Area= \int_0^1 f-g= \int _0^1( -4x+4)dx=- \frac{4x^2}{2}+4x=-2x^2+4x \Bigg|_0^1=\\&\\&-2+4=2 \ \ u^2\end{align}$$

saludos

;)

;)