Aplicando las reglas de la derivación calcular las siguientes derivadas

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¡Hola Jaime!

Hay que usar la técnica llamada derivación logarítmica, mediante la cual la función exponencial se convierte en un producto y podemos hacer la derivada.

$$\begin{align}&8) \\& y=x^{\cos x}\\&\\&ln\,y= ln(x^{\cos x})= \cos x·ln\,x\\&\\&\text{Ahora derivamos en los dos lados}\\&\\&\frac{y'}{y}= -sen\,x·ln\,x+ \frac{\cos x}{x}\\&\\&\text{pasamos y a la derecha}\\&\\&y' = y\left(-sen\,x·ln\,x+ \frac{\cos x}{x}  \right)\\&\\&\text{Y sustitimos y por su valor}\\&\\&y' = x^{\cos x}\left(-sen\,x·ln\,x+ \frac{\cos x}{x}  \right)\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, s a l u d o s.

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Hola Jaime!
Para derivar eso has de aplicar las técnicas de derivación logarítmica y después la derivación Implícita:

$$\begin{align}&f(x)=x^{cosx}\\&tomando \ logaritmos:\\&\\&lnf(x)=ln(x^{cosx})=cosx·lnx\\&\\&derivando \ implicitamente:\\&\\&\frac{1}{f(x)}·f'(x)=-senx·lnx+cosx·\frac{1}{x}\\&\\&despejando:\\&f'(x)=f(x) \Big[-senx·lnx+cosx·\frac{1}{x} \Big]\\&\\&f'(x)=x^{cosx} \Big(-senx·lnx+cosx·\frac{1}{x} \Big)\\&\\&\end{align}$$

Saludos
;)
;)