Calcula el volumen del cuerpo que se genera al girar la región limitada

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¡Hola Anónimo!

Lo bueno que tiene el cálculo de volúmenes limitdos por una sola función es que no te tienes que preocupar si la función corta al eje X o no, como la integral es la de una función al cuadrado anto si es negativa como positiva tiene el mismo valor.

Entonces sin necesidad de hacer gráfica, ni de verificar simetrías ni nada puedes tomar la fórmula.

$$\begin{align}&V=\pi\int_a^b (f(x))^2dx\\&\\&V=\pi\int_{-3}^3(x^2-4)^2dx=\pi\int_{-3}^3(x^4-8x^2+16)dx=\\&\\&\pi\left[ \frac{x^5}{5}-\frac{8x^3}{3}+16x \right]_{-3}^3=\pi\left(\frac{243}{5}-72+48+\frac{243}{5}-72+48\right)\\&\\&\pi\left(\frac{486}{5}-48\right) = \pi \frac{486-240}{5}=\frac{246\pi}{5} u^3\end{align}$$

Ya lo habrías niquelado si hubieras dicho que por ser una función par ibas a calcular dos veces el volumen entre 0 y 3, pero yo quería demostrarte que se puede hacer fácil sin pensar nada.

Y eso es todo, saludos.

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;)
Hola anónimo!

Esa región es:

Calcularé los volúmenes de 0 a 2; y de 2 a 3.

El volumen del sólido revolución se calcula con la fórmula:

$$\begin{align}&V= \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx\\&\\&V_1= \int_0^2 \pi ((4-x^2)^2)dx= \pi \int_0^2(x^4-8x^2+16)dx=\\&\\&\pi (\frac{x^5}{5}- \frac{8x^3}{3}+16x) \Bigg|_0^2= \pi( \frac{32}{5}- \frac{64}{3}+32-0)=\frac{256}{15} \pi\\&\\&V_2=\pi \int_2^3(x^4-8x^2+16)dx=\pi (\frac{x^5}{5}- \frac{8x^3}{3}+16x) \Bigg|_2^3=\\&\\&\pi\Big[\frac{243}{5}-72+48-(\frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32) \big]= \pi \frac{113}{15}\\&\\&\\&V_T=2 \pi (\frac{256}{15}+\frac{113}{15})=\frac{246}{5} \pi \ \ u^3\end{align}$$

Saludos

;)

;)