Aplicar las reglas de la derivación para resolver este ejercicio
Amigos de todoexpertos se me presenta este ejercicio y al resolverlo me dice el profe que no está bien, nos plantea 8 ejercicios.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Joan!
Muchas veces es importante aplicar propiedades conocidas en la función antes de derivarla, esto pasa sobre todo en algunas logarítmicas y trigonométricas, también en alguna racional. Primero pongo las reglas que se usarán:
$$\begin{align}&(f+g)'=f'+g'\\&(f[g(x)])'=f'([g[x)]·g'(x)\\&(ln\,x)'=\frac 1x\\&(\cos x)'=-sen \,x\\&\\&------------------\\&\\&f(x)=ln \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-cosx}}\\&\\&\text{Si la quieres resolver así te puedes volver medio loco}\\&\text{Hay que simplificarla antes por propiedades de logaritmos}\\&\\&f(x)=\frac 12 ln\left(\frac{1+\cos x}{1-\cos x} \right)=\frac 12[ln(1+\cos x)-ln(1-cosx)]\\&\\&f'(x)= \frac 12\left(\frac{-sen\,x}{1+cosx}-\frac{senx}{1-cosx} \right)=\\&\\&\frac{1}{2}\left(\frac{-sen\,x+sen\,x·\cos x-sen\,x-sen\,x·\cos x}{1-\cos^2x} \right)=\\&\\&\frac 12·\frac{-2 sen\,x}{sen^2x}=-\frac{1}{sen x}=-csc\,x\end{align}$$Y eso es todo, s a l u d o s.
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