Resolver la siguiente integral indefinida con radicales

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Hola oscar!

Pasos:

1º)Escribiendo los radicales como potencias de exponente fracionario

2º) aplicando la propiedad distributiva dividiendo potencias de x (restando los exponentes)

3º)integrando potencias

$$\begin{align}&\int \sqrt 2\   x^{\frac{-2}{3}} dx+9 \int x^{\frac{1}{3}-\frac{2}{3}}dx=\\&\\&\sqrt 2  \ \frac{x^\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}+9 \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}+C=\\&\\&3 \sqrt 2 x^\frac{1}{3}+\frac{27}{2} x^{\frac{2}{3}}+C\end{align}$$

Saludos

;)

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¡Hola Oscar!

Fíjate que la derivada de x^(1/3) es (1/3)x^(-2/3) y lo que tienes en el denominador es x^(-2/3), luego el denominador sería la derivada de ese cambio y eso es muy bueno. Solo que vamos a aprovechar para hacer un cambio mucho más completo que resuelva la integral en un solo cambio.

$$\begin{align}&\int \frac{\sqrt{2+9 \sqrt [3]{x}}}{\sqrt[3]{x^2}}dx=\int \frac{\sqrt{2+9x^{\frac 13}}}{x^{\frac 23}}dx=\\&\\&\int \sqrt{2+9x^{\frac 13}}·x^{-\frac 23}\;dx=\\&\\&t^2=2+9x^{\frac 13}\\&2t\,dt=9 \frac 13 x^{-\frac 23}dx=3 x^{-\frac 23}dx\implies x^{-\frac 23}dx=\frac 23t\,dt\\&\\&=\int t·\frac 23t\,dt=\frac 23\int t^2dt = \frac{2t^3}{9}+C=\\&\\&\frac{2 \left(\sqrt{2+9x^{\frac 13}}\right)^3}{9}+C= \frac{2 \sqrt{\left(2+9 \sqrt[3] x  \right)^3}}{9}+C\end{align}$$

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