¿Una solución sobre este ejercicios de transformaciones lineales polinomios?
¿como encontrar el núcleo con una base y una base para la imagen de una transformación polinomio en la cual da esta siguiente T(at^2+bt+c)=(a+2b)t+(b+c)?
1 Respuesta
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¡Hola Willian!
Es una transformación de P(2) en P(1)
El núcleo son los polinomios de P(2) cuya transformación es el polinomio 0 de P(1)
(a+2b)t + (b+c) = 0t + 0
a+2b=0
b+c = 0
Tomemos c como parámetro, tendremos
b=-c
a-2c= 0 ==> a =2c
Luego los polinomios del núcleo son de la forma
2cx^2 - cx + c = 0
c(2x^2-x+1) = 0
para todo c ∈ R
Es el espacio vectorial que se genera con el polinomio 2x^2 - x + 1
luego la base del núcleo es:
B = {2x^2-x+1}
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La imaen serán los polinomios
p(t) = dt + e
que se pueden formar con la transformación.
(a+2b)t+(b+c) = dt + e
a+2b = d
b+c = e
basta que tomemos b=0 y tendremos
a=d
c=e
Luego para cualquier polinomio del conjunto destino
p(t)=dt+e
si tomamos el polinomio
q(t) = dt^2 + e
tendremos que
T(q(t)) = T(dt^2+e) = (d+2·0)t + (0+e) = dt + e = p(t)
Por lo tanto la imagen es todo el conjunto destino.
Y podemos tomar una base cualquiera de P(1) por ejemplo la canónica:
B = {1, x}
Y eso es toso, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así, pregúntame. Y si ya está bien, no olvides puntuar.
Saludos.
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! Valero una pregunta lsi esa transformación es p2-p2
Es que rl ejercicio decía eso
Ahora que puedo hacer.
Yo deduje que era de P(2) en P(1) porque las imagenes tienen grado 1.
Si el ejercicio te dice que es de P(2) en P(2) no pasa nada, como P(1) está incluido en P(2) la transformación es lo misma. Y la base de la imagen sigue siendo la misma, no cambia nada.
Saludos.
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