Determina el valor de a y b para que la recta sea perpendicular al plano

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Un plano tiene como vector director un vector perpendicular al plano. Si la recta es perpendicular al plano su vector director es paralelo al vector perpendicular del plano.

Dado un plano

Ax+By+Cz = D

el vector director es (A, B, C)

Para el plano  x+2y-z=4   es

u=(1,2,-1)

Dada la ecuación continua de una recta (pero bien dada) el vector director se forma con los denominadores.

Lo de "bien dada" lo digo porque a veces te pueden engañar poniendo alguno de los miembros con un coeficiente distinto de 1 para la variable correspondiente x, y, ó z. Si sucede eso, debes adecuar ese miembro multiplicando numerador y denominador por el inverso de ese coeficiente para conseguir que sea 1, entonces el denominador ya valdrá.

En este caso la ecuación continua está bien dada ya que x, y, z tienen coeficiente 1. Luego el vector director de la recta que nos dan es

v=(5, a+1, 2b)

Y para que este sea paralelo al vector u(1,2,-1) del plano deben ser proporcionales

ku=v

k(1,2,-1)=(5,a+1,2b)

(k, 2k, -k) = (5, a+1,2b)

e la igualda de la primera componente se deduce k=5 luego

2k = a+1

10=a+1

a =9

y también

-k=2b

-5 = 2b

b = -5/2

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Luego los valores son

a=9

b=-5/2

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Y eso es todo.

La recta es perpendicular al plano si el vector director de la recta(r) es paralelo al vector normal (n) del plano.

r y n son vectores.

Dos vectores son paralelos si sus componentes son proporcionales

$$\begin{align}&\vec{r}=(5,a+1,2b)\\&\\&\vec{n}=(1,2,-1)\\&\\&\vec{r}=k \vec{n}\\&\\&(5,a+1,2b)=k(1,2,-1)\\&\Rightarrow\\&5=k\\&a+1=2k \Rightarrow a=10-1=9\\&2b=-k \Rightarrow b=\frac{-5}{2}\\&\\&\end{align}$$