Hallar la ecuación del plano que contiene una recta y es perpendicular a otro plano

Fijate que la ecuación de la recta es en realidad la intersección de dos planos. El vector

Director de la recta es perpendicular al de los dos planos. Y cualquier otro plano que contenga esa recta tendrá su vector director perpendicular al de la recta luego será combinación lineal de los dos vectores de esos planos ya que son una base del plano perpendicular a la recta

Entonces el vector director del plano será de la forma

a(2, -1, 0) + b(1, -1, 2) = (2a+b, -a-b, 2b)

Y por ser perpendicular a al plano x+y-z-1 lo es a su vector director y el producto escalar es cero

(2a+b, -a-b, 2b)*(1, 1, -1) = 2a + b -a - b - 2b = 0

a -2b = 0

a = 2b

Nos sobra un parámetro tomemos b=1 y a será a=2

Con ello el vector director es

(2a+b, -a-b, 2b) = (4+1, -2-1, 2) = (5,-3,2)

y su ecuación

5x-3y+2z+d = 0

Simplemente hagamos que pase por un punto de la recta

2x-y=0
x-y+2z+3=0

El calculo es fácil, tomamos x=0, para que se cumpla la primera es y= 0 y para la que se cumpla la segunda es 2z+3= 0 ==> z=-3/2

Luego el plano debe contener el punto (0, 0, -3/2)

0+0+2(-3/2)+d = 0

d = 3

Luego la ecuación del plano es:

5x-3y+2z+d = 0

Hay otra forma más fácil, pero no se si la habrás dado, yo creo que la di en carrera. POr eso no la he empleado pero te la digo por si te vale

Dada una recta, el haz de planos que pasa por ella es combinación lineal de dos planos que lo hagan. Esos dos planos ya nos los dan. Luego el haz de planos es:

a(2x-y)+b(x-y+2z+3) = 0

Y el vector director (2a+b, -a-b, 2b)

El vector director del plano de este haz perpendicular al otro plano dará lo mismo porque son las mismas operaciones que hicimos antes. La ventaja es que no hace falta ver que pasa por ningún punto, simplemente sustituyendo a y b en la ecuación del haz sale el plano directamente.

2(2x-y)+1(x-y+2z+3) = 4x-2y+x-y+2z+3 = 5x-3y+2z+3=0

Y eso es todo.