1)Si H:x+y-2z=2, hallar a) Un vector N, normal a H b) dos puntos distintos de H c) un plano H1 paralelo a H que pase por el origen d) un plano H2 paralelo a H que pase por p= (1,1,-2)
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Anónimo
1) x+y-2z=2 <=> z = (x+y-2)/2 a) Para x=0, y=0 => z=-1 => punto (0,0,-1) Para x=2, y=0 => z=0 => punto (2,0,0) Para x=0, y=2 => z=0 => punto (0,2,0) Restamos los dos últimos al primero y obtenemos dos vectores directores del plano: (2,0,0)-(0,0,-1)=(2,0,1) (0,2,0)-(0,0,-1)=(0,2,1) Hacemos que el vector buscado (a,b,c) sea perpendicular a estos dos: (2,0,1)(a,b,c)=0 => 2a+c=0 (0,2,1)(a,b,c)=0 => 2b+c=0 Haciendo a=1 => c=-2a=-2, b=1 Luego (1,1,-2) es un vector (libre) perpendicular al plano dado b) Los de antes c) Se utilizan los vectores directores de antes y se elige el origen como punto de situación. Todos los puntos P del plano buscado son de la forma, donde u y v son reales cualesquiera: P = (0,0,0) + u(2,0,1) + v(0,2,1) Luego, si P=(x,y,z): x = 2u y = 2v z = u + v Si queremos ponerlo en forma Ax+By+Cy=D, entonces como pasa por el origen ==> D=0 Ahora, para u=1,v=0 => 2A+C=0 y para u=0, v=1 => 2B+C=0 Haciendo A=2 => C=-2 => B=1 Luego H1: 2x+y-2z=0 es el plano buscado. d)Para H2 hacemos lo mismo: P = (1,1,-2) + u(2,0,1) + v(0,2,1) x = 2u + 1 y = 2v + 1 z = u + v - 2 Para u=0, v=0 => A+B-2C=D Para u=-1/2, v=0 => B-(5/2)C=D => 2B-5C=2D Para u=0, v=-1/2 => A-(5/2)C=D=> 2A-5C=2D Haciendo D=1 ==> A+B-2C=1 2B-5C=2 2A-5C=2 ==> (restando las 2 últimas) => 2B-2A=0 => A=B => 2A-2C=1 y 2A-5C=2, restándo => -2C+5C=-1 => C=-1/3 => A =B=(1+2C)/2 = 1/6 Luego la ecuación es (1/6)x+(1/6)y-(1/3)z=1, que multiplicando todo por 6 queda: H2: x+y-2z=6