¿Como se hace esta integral? :)

$$\begin{align}& \end{align}$$

¡Hola Aleksandra!

·

Si no te asusta hacer mentalmente una integral medio inmediata puedes hacer esto

$$\begin{align}&\int x^3e^{-x^2}dx=\int x^2·xe^{-x^2}dx=\\&\\&u= x^2\qquad\qquad u=2x\;dx\\&dv =xe^{-x^2}dx\quad v=-\frac 12e^{-x^2}\\&\\&-\frac 12x^2e^{-x^2}+\int xe^{-x^2}dx =\\&\\&-\frac 12x^2e^{-x^2}-\frac 12e^{-x^2}+C=\\&\\&-\frac 12e^{-x^2}(x^2+1) +C\end{align}$$

Y eso es todo.

1º Un cambio de Variable

2º Por Partes:

$$\begin{align}&\int x^3 e^{-x^2}dx=\int x^2·x·e^{-x^2}dx=\\&t=x^2 \Rightarrow dt=2xdx \Rightarrow xdx=\frac{dt}{2}\\&\\&=\int \frac{1}{2}te^{-t}dt=\\&\\&u=t \Rightarrow du=dt\\&dv=e^{-t} \Rightarrow v=-e^{-t}\\&\\&=\frac{1}{2} \Bigg (-te^{-t}- \int-e^{-t}dt \Bigg )=\\&\\&\frac{1}{2} \Bigg (-te^{-t}+\int e^{-t}dt \Bigg )=\\&\\&\frac{1}{2} \Bigg (-te^{-t}-e^{-t} \Bigg )=\\&\\&\frac{1}{2} \Bigg (-x^2e^{-x^2}-e^{-x^2} \Bigg )\\&\\&\\&\\&\end{align}$$