Dada la función continua en x ≠ - 5, ¿Qué valor debe tomar f(- 5) para que la función sea continua en x (subíndice cero) = - 5?
La función que me proporcionan es una división de polinomios:
f(x) = - 15x + 17x^2 + 4x^3 / x + 5
2 Respuestas
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Para que la expresión sea correcta hay que poner entre paréntesis el numerador y el denominador.
f(x) = (-15x + 17x^2 + 4x^3) / (x + 5)
En x=-5 el denomindor se hace 0. Para que en el numerador tengamos el factor (x+5) y pueda simplificarse debe valer 0 el numerador en x=-5, vamos a comprobarlo
-15·(-5) + 17·(-5)^2 + 4·(-5)^3= 75 + 425 - 500 = 0
Vamos a factorizar el numerador
-15x + 17x^2 + 4x^3 = x(4x^2 + 17x - 15)
Como sabemos que tiene el factor (x+5) dividiremos por Ruffini
4 17 -15 -5 -20 15 ------------ 4 -3 | 0
Luego la factorización completa es
-15x + 17x^2 + 4x^3 = x(x+5)(4x-3)
y la función queda
f(x) = x(x+5)(4x-3) / (x+5)
Para calcular su límite cuando x tiende a (-5) simplificamos los factores (x+5) del numerador y denominador quedará
f(x) = x(4x-3)
Y el valor en -5 será
f(-5) = (-5)[4·(-5)-3] = -5(-23) = 115
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Ese es el valor que hay que dar para que la función sea continua en x=-5
f(-5) = 115
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Y eso es todo.
Para que la función sea continua deben pasar 3 cosas simultáneamente:
1. Estar definida la función y tomar un valor (finito)
2. Existir los límites laterales de la función
3. La función y los límites deben coincidir
Como la función que te dan no está definida en x=-5, veamos cuales son los límites y redefinamos la función para que coincida con dicho límite.
$$\begin{align}&\lim_{x \to -5} \frac{-15x+17x^2+4x^3}{x+5}=\lim_{x \to -5} \frac{x(-15+17x+4x^2)}{x+5}=\\&\mbox{Resolvemos la cuadrática del numerador y encontramos que las raices son -5 y 0,75, así que queda:}\\&\lim_{x \to -5} \frac{x(x+5)(x-0,75)}{x+5}=\lim_{x \to -5} x(x-0,75) \to 28,75 \mbox{ (Cuando x tiende a -5)}\\&\end{align}$$$$\begin{align}& \end{align}$$Luego, definimos la función de la siguiente manera
$$\begin{cases} 28,75 & \mbox{si } x =-5\\\frac{-15x+17x^2+4x^3}{x+5} & \mbox{En otro caso}\end{cases}$$
Albino: Si bien las soluciones que te pasé de la cuadrática (-5 y 0,75) hacen que el polinomio sea cero. Está claro que si hacés la última multiplicación del polinomio no vas a llegar a la expresión original. Así que quedate con la solución del profe Valero.