Sobre conjunto solución
Determinar el conjunto solución de la siguiente inecuación
3x+8
--------------------- >0
v x(2)+6 + |x+134|
la inecuación
en el numerador es 3x+8
en el denominador es raíz cuadrada de [x(2)+6] mas valor absoluto de x+134
Donde x(2) significa equis al cuadrado
1 Respuesta
Antes de nada te diré como se representan escribiendo en línea algunas funciones habituales.
Una potencia se expresa como base, el símbolo ^ y el exponente
A elevado a la b se escribe a^b
(a+1) elevado a 2x se escribe (a+1)^(2x)
Y la raíz cuadrada se escribe sqrt()
Raíz cuadrada de c es sqrt(c)
Raíz cuadrada de (2x-3) es sqrt(2x-3)
Con todo esto la inecuación es
(3x+8) / [sqrt (x^2 + 6) + |x+134|] > 0
Pues parece una expresión bastante complicada, pero tenemos una suerte inmensa.
El denominador es siempre positivo. Se compone de la suma de una raíz cuadrada, que es siempre positiva, y de un valor absoluto, que es siempre positivo. Su suma es obviamente positiva e incluso distinta de cero, siempre valdrá como mínimo sqrt(6)
Y si el denominador es siempre positivo, el signo de toda la expresión será unicamente el signo del numerador, sera positivo si el numerador es positivo y del denominador nos olvidamos por completo.
3x+8 > 0
3x > -8
x > -8/3
Esa es la solución.
o sea si el denominador es mayor que cero entones no va a afectar la inecuación
pero si me dieran por ejemplo el sgt caso.
(2-|x-5|)/(4+|x+7)>=3
numerador es 2-|x-5|
denominador 4+|x+7|
No, no he dicho que no afecte a la inecuación. He dicho que el signo de la expresión será el signo que tenga el del numerador en este ejercicio concreto porque teníamos una inecuación del tipo
a / b > 0
Si sabíamos que b era siempre positiva, entonces a/b era positiva si a era positiva, o sea, si a > 0
E igualmente, si hubiéramos sabido que b era siempre negativa, entonces el conjunto sería positivo con la única condición de que a < 0
Tal vez esta forma de razonar te confunda. Pues hagámoslo de otra forma. En una inecuación se pretende pasar términos de un lado a otro al igual que en una ecuación para despejar la incógnita. El asunto de pasar sumandos de un lado a otro no tiene ningún problema, pero el de pasar factores es problemático porque si lo que se pasa es positivo se conserva el sentido de la desigualdad, pero si es negativo hay que cambiarla. Y muchas veces lo que se pasa puede ser positivo para ciertos valores de la incógnita y negativo para otros, con lo que hay que considerar dos casos por separado.
En nuestro caso sabíamos que ese denominador era siempre positivo, la operación de pasar el otro lado es en realidad la de multiplicar en ambos lados por el denominador que como es un número positivo hace que la desigualdad conserve el sentido.
Ahora bien, qué pasaba en el lado de derecho, hacíamos un "multiplícate por cero" al denominador y quedaba cero, por eso desaparecía el denominador.
En el ejemplo que me dices ahora no pasa eso:
(2-|x-5|)/(4+|x+7|)>=3
Sabemos que el denominador es siempre positivo, lo cual me permitirá pasarlo al otro lado sin ningún problema, pero ya no se encuentra con un cero y tiene que multiplicarse quedando:
2-|x-5| >= 3(4+|x+7|)
Y a partir de ahí se soluciona, que no es moco de pavo, los valores absolutos son un engorro muy grande en las inecuaciones.
Y el caso más malo es cuando el factor que se quiere pasar, ya sea numerador, denominador o mezcla no tenga un signo fijo.
Veamos un ejemplo
x / (x-3) > 2
Aquí hay que considerar dos casos, bueno tres.
1) Si x-3 > 0 entonces
x > 2(x-3)
x > 2x -6
-x > -6
x < 6
Y la suposición era x-3 >0 ==> x > 3
Luego para cumplirse las dos debe ser 3 < x < 6
2) Si x-3 <0 entonces al multiplicar o dividir por eso se cambia el sentido
x < 2(x-3)
x < 2x - 6
-x < -6
x > 6
Pero la suposición era x-3 < 0 ==> x < 3
Y un número no puede ser a la vez mayor que 6 y menor que 3, luego el caso 2) no aporta ninguna solución nueva y la solución completa es
3 < x < 6
El caso 3 era x-3 = 0 ==> x = 3 en el que la expresión no esta definida, pero no hay que descontarlo en la respuesta puesto que no aparece en ella, aparece como extremo pero sin entrar.
Y esto son unas pequeñas pinceladas sobre la resolución de inecuaciones.
