Hallar las coordenadas del punto p que divide al segmento

Yo te lo resuelvo gráficamente

Te he puesto las dos soluciones, según la razón 3/4 sea de AP/BP o

BP/AP

·

Vamos a calcular primero el punto para una distancia 1. Luego aplicaremos esa prporción al vector que une A y B

$$\begin{align}&\frac {x}{1-x}= \frac 34\\&\\&4x=3-3x\\&\\&7x= 3\\&\\&x=\frac 37\\&\\&\text{Ahora tomemos el vector de A a B }\\&v=B-A =(-5,7)-(8,-2)=(-13,9)\\&\\&\text{Y el punto será}\\&\\&P=A+\frac 37v=(8,-2)+\frac 37(-13,9)=\\&\\&\left(8-\frac{3·13}{7},-2+\frac{3·9}{7}  \right)=\\&\\&\left(\frac{56-39}{7},-2+\frac{27}{7}  \right)=\\&\\&\left(\frac{17}{7},\frac {13}{7}  \right)\end{align}$$

Que es el punto E de la grafica de Lucas.

Y eso es todo.

Tenemos que encontrar un punto M tal que AM/MB =3/4

Si las coordenadas de M son (x, y) se tiene que es: AM(x-8, y+2) y MB(-5-x, 7-y) entonces:

AM=(3/4) MB

(x-8, y+2)=(3/4)(-5-x, 7-y) 

(4x-32, 4y+8)=(-15-3x, 21-3y)

4x-32=-15-3x

7x=32-15

5x=17

x=17/5

______________

4y+8=21-3y

7y=13

y=13/7

$$\begin{align}&\text{si consideramos el segmento dirigido de A a B de tus puntos dados, entonces haremos lo siguiente:}\\&\text{1)  Buscamos un vector director de la recta que forma el punto A con el B:}\\&B-A=(-5,7)-(8,-2)=(-5-8,7+2)=(-13,9)\ \ \ \  \text{(asì se halla el vector director)}\\&\text{luego, sabemos que la ecuaciòn vectorial de la recta determinada por los puntos A y b tiene la forma siguiente:}\\&(x,y)=(x_{o},y_{o})+rv\\&\\&\text{donde:}\\&(x_{o},y_{o})=\ \text{es el punto inicial de la recta, en este caso tomaremos como (xo, yo) al punto A }\\&r=\text{la razòn}\\&v=\text{el vector director que ya habìamos calculado}\\&\text{entonces, sòlo queda sustituir y listo:}\\&\\&(x,y)=(8,-2)+\frac{3}{4}(-13,9)\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(8,-2)+(-\frac{39}{4},\frac{27}{4})\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(8-\frac{39}{4},-2+\frac{27}{4})\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(-\frac{7}{4},\frac{19}{4})\\&\\&\text{por lo tanto el punto buscado es: } (-\frac{7}{4},\frac{19}{4})\\&\\&\end{align}$$

Listo !!

Si tienes duda, me preguntas.